量子群的结构和表示及相关问题

Quantum group is a particular class of non-commutative and non-cocommutative Hopf algebras. It has a wide applications in the fields of mathematics and physics, such as the Lie Theory, the algebraic group, the low dimensional topology, the conformal field theory and so on. The aim of this program is that (1) expanding the research skills of classical quantum groups, we study the structure, representation theory and the homological properties of several kinds of important non-standard quantum groups and their restricted forms. First, we try to give the descriptions and characterizations of their PBW basis, their Groebner-Shirshov basis. Then we consider some homological properties such as Anick resolutions, AR quivers and Gelfand-Krillov dimensions of their representations and so on；(2) applying the techniques of Ringel-Hall algebra, we study the canonical basis and categorification of irreducible representation and the corresponding Fock space for double Ringel-Hall algebra of cyclic quiver. First, acting canonical basis of Ringel-Hall algebra on the highest weight vector, we obtain the canonical basis of the highest irreducible representation. Then we consider a central extension of KLR algebra and categorify the corresponding irreducible representation. This research can make us understand and reveal the fundamental structure and representation theory of quantum groups in a broader way. This topics is important and significant.

量子群是一类特殊的非交换非余交换Hopf代数，在数学、物理的许多分支如李理论、代数群、低维拓扑、共形场理论等领域有着广泛的应用。本课题旨在（1）拓展经典量子群的研究技巧，对若干类重要的（非标准）量子群及其限制型的结构和表示的分类和同调性质进行研究：描述它们的PBW基与Groebner-Shirshov基，考虑它们表示的Anick分解、AR箭图、Gelfand-Krillov 维数等若干同调性质；（2）利用Ringel-Hall代数技巧，研究循环箭图的 double Ringel-Hall 代数的不可约表示及相应的Fock 空间的典范基及其范畴化：将Ringel-Hall代数的典范基作用在最高权向量上，得到最高权不可约表示的典范基，然后考虑KLR代数的某个中心扩张，最终范畴化相应的不可约表示。这些研究可以使我们从更广角度理解和揭示量子群的基本结构和表示理论，具有重要理论意义。

量子群作为一类特殊的非交换非余交换Hopf代数，在数学、物理的许多分支如李理论、代数群、低维拓扑、共形场理论等领域有着广泛的应用。.本项目研究成果主要包括以下几个方面：（一）构造了对应于非标准量子群的若干弱Hopf代数，给出了它们的结构刻画及其最高权表示的分类；得到了它们的最高权表示张量积分解公式以及两个不同参数版本下的同型的弱Hopf代数同构的充分必要条件，还构造了非标准弱量子代数的PBW基、EXT-箭图及有限维不可约表示。（二）应用Fourier-Deligne变换证明了循环箭图的Ringel-Hall代数的典范基与其单生成子的幂次生成的理想是相容的，建立了循环箭图Ringel-Hall代数的典范基及其Drinfeld偶上高权可积模的典范基，得到了对应的Fock空间典范基的一些重要性质；利用加权射影线上的凝聚层范畴的导出范畴的mutation函子实现了对应于该加权射影线的星型箭图的Weyl群的单反射，通过考虑该加权射影线的Hall代数的结构，用这些函子实现了相应箭图对应的Kac-Moody代数的Tits同构及其对应的量子包络代数的Lusztig对称子，构建了slim分圆q-Schur代数的一组标准基，并证明了它是相应Coxeter群代数的双陪集基的量化形式。（三）精确刻画了单位根情形下的某些（非标准）量子代数的限制型的结构和表示，并给出了它们的表示环、投射类环以及Grothendieck环的生成元和生成关系。（四）利用Drinfeld扭以及扭同态，给出了有限维Hopf代数的自同构型的Ore扩张及相应扩张的商代数成为双代数（Hopf代数）的条件，并将所得结果应用于某些重要的具体的Hopf代数。这些结果将对有限维非点Hopf代数的分类有潜在的应用。（五）研究了带状Hopf超代数以及Hopf代数与Rota-Baxter算子的联系，得到了有限维Hopf超代数的Drinfeld偶具有带状元的充要条件。通过Rota-Baxter算子的定义和性质，给出了Sweedler Hopf代数上的具有任意权的Rota-Baxter算子的完全分类。.这些新的结果可以使我们从更广角度理解和揭示量子群(Hopf代数)的基本结构和表示理论，在表示论及量子群理论中具有重要的理论意义和学术价值。