时间序列的极限理论及在变点问题上应用研究

时间序列广泛应用于经济金融、工程技术、天文气象等领域。线性过程是时间序列的经典模型之一，更进一步，许多时间序列数据，比如水文序列、经济指标数据等远距离观测值间的相依性尽管很小，但仍不能被忽视，都具有长程相依性。另一方面，变点估计问题和时间序列分析密不可分，变点反映事物的某种质的变化，在各种领域常见且具有重要性。变点问题的研究是分析突发事件对模型影响的关键之一，可作为研究气候突变、灾异事件、股市波动预测以及改革之成效等的重要工具。因此本项目的研究内容为首先研究线性过程的极限性质，在此基础上重点研究长程相依时间序列的极限性质，利用强弱逼近方法讨论长程相依时间序列的收敛性质。并结合长程相依序列的极限性质，对变点问题做假设检验，得到检验统计量的极限性质，估计变点并得到渐近性质等。得到的结果对计量经济的建模、预测预报以及对模型进行修改控制和政策的制定方面起到关键作用。

本项目得到了几类重要时间序列的极限理论，将其应用于变点问题研究，得到了重要结果。时间序列广泛应用于经济金融、工程技术、天文气象等领域。线性过程是时间序列的经典模型之一，本项目得到了线性过程关于矩的重对数率的精确渐近性质，并在已得到的相依随机变量部分和乘积的几乎处处中心极限定理的基础上，将权重推广到一般形式，得到了相依随机变量部分和乘积的推广形式的几乎处处中心极限定理，因此基于此结果可以推出各种特殊形式的几乎处处中心极限定理。更进一步，许多时间序列数据，比如水文序列、经济指标数据等远距离观测值间的相依性尽管很小，但仍不能被忽视，都具有长程相依性。分数积分过程是长程相依过程的一种，本项目研究了扰动项是强近邻相依序列的分数积分过程的弱不变原理，并将此结果应用到单位根过程的检验中，为计量经济时间序列平稳性检验提供理论依据。本项目还研究了扰动项为混合过程产生的强近邻相依序列的线性过程的泛函中心极限定理，强近邻相依性是一种非常广泛的相依性，两种重要的计量经济时间序列模型--ARMA模型和GARCH模型都属于强近邻相依序列，因此泛函中心极限定理可推广到由ARMA模型和GARCH模型所产生的线性过程的应用上。另一方面，变点估计问题和时间序列分析密不可分，变点反映事物的某种质的变化，在各种领域常见且具有重要性。变点问题的研究是分析突发事件对模型影响的关键之一，可作为研究气候突变、灾异事件、股市波动预测以及改革之成效等的重要工具。因此本项目当长程相依序列满足弱不变原理时，分别就均值变化和方差变化两方面的假设检验展开讨论，当均值发生变化时，得到了检验统计量的渐近分布，当方差发生变化时，研究了检验统计量的渐近性质，为假设检验的临界值提供理论依据，在得到了理论结果的基础上，对于得到的检验统计量的渐近分布设计了算法进行数据模拟，进一步验证了理论结果的正确性，得到的结果对计量经济的建模、预测预报以及对模型进行修改控制和政策的制定方面起到关键作用。