随机环境下随机（泛函）微分方程的收敛和稳定性研究

When taking account of the random switching of environment, stochastic processes can provide more practical models in various applications. Regime-switching stochastic process is a kind of mixed systems combining discrete state Markov chains with diffusion processes, which can characterize phase transition in physics, and is widely used in mathematical finance, biology, etc. This project investigates the stability, convergence, estimate of convergence rate, properties of invariant measure of stochastic (functional) differential equations under the random environment characterized by Markov chains. Two types of driven are considered: Brownian motion and Levy process. This mixed system enhances the efficient combination of the methods to study continuous processes and discrete processes, characterizes their different role played by discrete processes and continuous processes during the evolution of this system, in order to obtain more efficient effect through modifying switching system in application.

考虑到环境随机变化的随机过程在应用中可以提供更贴合实际的数学模型。带切换的随机过程是一种离散状态马氏链与扩散过程的混合系统模型，可以很好地刻画物理学中的相变现象，在数理金融、生物学等领域有广泛的应用。本项目研究在随机环境下随机（泛函）微分方程的稳定性、收敛性、收敛速度的估计以及不变测度的性质。考虑布朗运动驱动和Levy过程驱动两种情形。这种混合模型促进研究离散过程与扩散过程的工具和方法有效地结合起来，刻画它们在混合系统演变过程中所起的不同作用，以便在应用中通过调整切换机制产生更好的效果。

一个系统所处的环境的随机变化对于系统的很多方面都有很重要的影响，比如：金融学中市场的牛市和熊市的转换对于金融产品的影响，生物系统中高温和低温等气候因素的随机变化对于物种灭绝与否的影响。本项目研究随机动力系统在随机变化的环境下系统的稳定性、遍历性、不变概率测度等的长时间行为。此处的随机环境的变化用离散状态空间上的跳过程来刻画，可以描述环境的定性变化。.主要取得了以下成果：提出来具有延迟效应的随机动力系统稳定性的判别准则，可以同时考虑连续状态系统与离散状态系统在离散时刻的延迟；给出带状态依赖的扩散过程不变概率测度存在的充分条件，以及系统数值解的逼近性；通过两类重要的随机过程指出环境的随机切换如何影响不变概率测度具有重尾性或轻尾性；给出Levy驱动的随机系统在环境随机切换下稳定性、遍历性的判别准则；研究了Levy过程的跳跃与随机切换对于不变概率测度重尾或轻尾的影响；作为应用，研究随机环境下传染病模型、人口模型的灭绝问题；研究了随机环境下随机系统的最优控制问题以及最优停时问题，给出最优控制存在性的充分条件，建立动态规划原理，通过HJB方程刻画了最优值函数。