随机泛函微分方程数值解的稳定性及相关应用

由于几乎所有的随机泛函微分方程都不能写出解析解，因此数值方法就成为研究随机泛函微分方程的有效工具之一。当前对随机泛函微分方程数值解的收敛性已有相当的研究，但对稳定性的研究才刚刚起步。本研究通过综合运用随机Razumikhin技术，随机LaSalle不变原理，Doob鞅不等式，指数鞅不等式，半鞅收敛定理，Borel－Cantelli引理，随机积分不等式等工具，讨论随机泛函微分方程数值方法的稳定性在何种条件下可以准确刻画真实解的稳定性(即保稳定性)，重点研究矩稳定性与几乎必然稳定性。同时将得到的结果运用到一些具有实际背景的方程如随机Volterra方程中并给出数值模拟的结果。本项目的研究将在理论上丰富和发展随机微分方程数值方法的理论，实践上将在自动控制、生物化学反应及工程应用等领域具有广泛的应用前景。

由于几乎所有的随机泛函微分方程（包括随机延迟微分方程）都不能写出解析解，因此数值方法就成为研究随机泛函微分方程的有效工具之一. 作为交叉学科, 随机数值方法也是当前数值分析和随机分析都关注的问题之一。本研究通过综合运用随机Razumikhin技术，随机LaSalle不变原理，Doob鞅不等式，指数鞅不等式，半鞅收敛定理，Borel－Cantelli引理，随机积分不等式等工具，基于真实解的性质，讨论随机泛函微分方程数值方法的稳定性在何种条件下可以准确刻画真实解的稳定性(即保稳定性)，重点研究了矩稳定性与几乎必然稳定性。主要包括：.1..真实解的性态：讨论了各种随机泛函方程（包括随机延迟方程）的解的正则性(全局存在性)和稳定性，特别注重随机因素在稳定性中的作用，即随机稳定化的问题；.2..数值解对于真实解的刻画：主要研究了各种数值方法的稳定性，主要考虑对于真实解相应性质的刻画，即保稳定性等；.3..将以上结果应用于特殊的模型：主要将以上的真实解和数值解的结果运用到随机Lotka-Volterra模型中，得出具有实际意义的结果。.在本项目资助下, 共出版译著1部，发表学术论文26篇，其中SCI收录25篇, 发表会议论文1篇。这些研究在理论上丰富和发展随机微分方程数值方法的理论。