Erdos-Fuchs问题、奇完全数及其它数论问题

The research of combinatorial number theory has a long history,but it is still very active. In this projects ,based on the existing work,we plan to use probabilistic methods to solve some problems in combinatorial number theory and get some new results.Firstly, we shall study the additive complements of primes by the probabilistic methods which is a new tool to be used widely in the research on this subject. In addition, we try to generalize a probabilistic inequality of Janson.Secondly, the Erdos-Fuch problem and its inverse problem have been studied for many years. Authors presented various versions of the theorem. We shall study the quantitative Erdős-Fuchs theorem, its generalization and its inverse problem for k-fold sumsets.Finally we will try to give some new properties of odd perfect numbers,odd multiperfect numbers and sumsets.

对组合数论的研究已经有相当长的历史，但是至今仍然非常活跃，此领域中的经典、热点问题不胜枚举。本项目主要将概率的方法应用到组合数论的研究中，在已有工作的基础上，争取解决一些问题并得到一些新的结果。具体的，我们首先计划研究素数的加法补集，在研究此问题的过程中，我们争取得到概率中的著名的Janson不等式的推广形式。其次，我们计划研究Erdos-Fuchs问题及其反问题。此外，我们还将对奇完全数、多重奇完全数，以及和集问题进行研究。

本项目主要研究组合数论与解析数论中的一些经典和热点问题。已发表学术论文11篇，其中8篇被SCI学术榜收录，2篇发表在中文核心期刊，1篇发表在国际数学杂志。已毕业硕士研究生3名，在读硕士研究生2名。在研期间举办研讨会一次。主要研究工作如下所述：.（1）研究了组合数论中的表示函数以及与之相关的课题，得到了一系列新的结果；探索了正整数序列中的一个猜想，改进了菲尔兹奖获得者Alon 的结果。.（2）研究了包含Euler函数等和函数的性质, 关于zeta函数的缺项收敛级数的一些性质以及Markoff数的某些特殊性质..（3）对具有特殊性质的素数的下密度进行了估计；并利用解析的方法研究了与狄利克雷函数相关的四次方均值, 得到了一个严格的公式..（4）研究了Euler函数的性质、关于欧拉函数的一个均值问题以及与欧拉函数相关的一系列丢番图方程，改进了前人的一系列成果.