一些非单李共形(超)代数的结构、表示和形变

The notion of Lie conformal (super)algebras encodes an axiomatic description of the operator product expansion of chiral fields in two-dimensional conformal field theory. Closely related to vertex (operator) algebras, it has many important applications in other areas of mathematics and physics. Particularly, it has been proved to be an effective tool for the study of infinite-dimensional Lie (super)algebras satisfying locality property. Many infinite-dimensional Lie (super)algebras are known to correspond to nonsimple Lie conformal (super)algebras, whereas many fundamental problems are yet to be solved. In this project, we investigate nonsimple Lie conformal (super)algebras.Using the rich results of Lie (super)algebras and simple Lie conformal (super)algebras, we shall construct various typical nonsimple Lie conformal (super)algebras. Then, we study their structures and representations, and determine their Lie conformal (super) bialgebras and Hom-structures. The goal of this study is to reveal some properties of the nonsimple Lie conformal (super)algebras, realize quantum deformation of some important ones and summarize some methods for the study of the nonsimple Lie conformal (super)algebras. The desired results will be of great importance to enrich structure, representation and deformation theories of Lie conformal (super)algebras,and will find important applications in other areas like theoretical physics.

李共形(超)代数是二维共形场论中Chiral场的算子积展开的公理化描述, 与顶点(算子)代数联系紧密, 并在数学和物理的很多方面有重要应用. 特别地, 它是研究满足局部性质的无限维李(超)代数的一个有力工具. 很多无限维李(超)代数都对应着非单李共形(超)代数, 而目前非单李共形(超)代数的很多重要问题仍未解决. 本课题以非单李共形(超)代数为研究对象, 利用李(超)代数和单李共形(超)代数的丰富成果, 构造几类典型的非单李共形(超)代数, 研究它们的结构和表示, 确定它们的李共形(超)双代数和Hom-型. 项目预期揭示非单李共形(超)代数的一些性质, 实现几类非单李共形(超)代数的量子形变, 总结归纳几点研究非单李共形(超)代数的方法. 项目成果对丰富李共形(超)代数的结构、表示和形变理论具有重要意义, 并为李共形(超)代数在理论物理等其它领域的应用提供科学依据.

李共形(超)代数是二维共形场论中Chiral 场的算子积展开的公理化描述，与.顶点(算子)代数联系紧密，并在数学和物理的很多方面有重要应用。特别地，它是研究满足局部性质的无限维李(超)代数的一个有力工具。本项目紧紧围绕非单李共形代数的结构、表示和形变展开。在结构方面，详细研究了W（2,2）李共形代数的共形导子、中心扩张、共形模，以及取值在平凡模、自然模以及不可约模上的各阶上同调群；确定了Heisenberg-Virasoro李共形代数的取值在平凡模、自然模以及不可约模上的各阶上同调群。 在表示方面，确定了W（2,2）李共形代数和Heisenberg-Virasoro李共形代数的秩为1的共形模，研究了其不可约性，并证明了它们的所有有限秩的不可约共形模的秩都是1。进一步，对一类秩为2的李共形代数W（b）的有限不可约共形模进行了分类，并把研究结果和方法应用到了Schrodinger-Virasoro李共形代数上。在形变方面，定义了Hom-李共形代数和Hom-李共形超代数，以及Hom-Gelfand-Dorfman 双代数和Hom-Gelfand-Dorfman 超双代数，给出了相应的构造方法和具体例子，并证明了Hom-李共形代数与Hom-Gelfand-Dorfman 双代数以及Hom-李共形超代数和Hom-Gelfand-Dorfman 超双代数的等价性。此外，确定了Virasoro超代数的李超双代数结构，并实现了量子化，得到一类既非交换又非余交换的Hopf超代数。 本项目的研究成果是对经典李共形（超）代数理论的拓展，不仅为李共形（超）代数的研究提供了一些新的思路，也为李共形（超）代数在其它领域的应用提供了一些新的方向