一些非有限分次李（超，共形）代数的结构和表示

The development of not finitely graded Lie (super)algebras has important influences on numerous mathematical and physical research fields, e.g. Vertex operator algebras, quantum groups, conformal field theory, integrable system etc. In the applicant's PH.D. thesis, the structures and representations of a class of not finitely graded Block type Lie algebras have been successfully accomplished. On the basis of our previous research works, this project will continue the study of not finitely graded Lie algebras, and construct and study new meaningful not finitely graded Lie superalgebras and their representation theory. For the concrete reserch contents, in addition to doing some necessary preparation work in structure theory (such as derivations, automorphism groups, cohomology groups), we mainly focus on representation theory: irreducible modules, highest weight modules, intermediate series modules, Whittaker modules etc. In addition, the related Lie conformal algebra structures will be also preliminarily considered. This project aims to first improve previous research methods, and then extends the theories of not finitely graded Lie algebras to the related not finitely graded Lie superalgebras. These reserch will positively promote the construction of the research system of not finitely graded Lie (super)algebras.

非有限分次李（超）代数的发展在顶点算子代数，量子群，共形场论，可积系统等众多数学物理领域有着重要的影响。在申请人的博士学位论文中，已经考虑了一类非有限分次Block型李代数的结构和表示理论。在这些已有研究工作的基础上，本项目将继续研究非有限分次李代数，构造并研究新的有意义的非有限分次李超代数以及它们的表示理论。具体的研究内容除了在结构理论方面做必要的准备工作（如导子，自同构群，上同调）外，侧重研究表示理论：不可约模，最高权模，中间系列模，Whittaker模等问题。另外，还将初步考虑相关的李共形代数结构。本项目期望可以通过改进之前的研究方法，将非有限分次李代数的一些研究理论推广至相关的非有限分次李超代数中。这些研究将对非有限分次李（超）代数的研究体系的建立起到积极的推动作用。

无限维非有限分次李（超）代数和李共形代数都是与共形场论，顶点算子代数密切相关的重要代数结构。利用无限维非有限分次李代数的顶点表示可以构造顶点算子代数，李共形代数的共形模可以转化为与之相伴的无限维李代数的共形模。无限李共形代数的有限共形模分类以及无限维非有限分次李超代数拟有限模的分类都是重要的研究问题。本项目主要研究了（1）李共形代数的结构和表示理论：分类了一类无限李共形代数的有限不可约共形模，由此还分类了一系列有限李共形代数的共形模，得到了一类有限增长单李共形代数的例子，确定了另两类无限李共形代数的共形导子及某些共形模；（2）无限维非有限分次李（超）代数的结构和表示理论：分类了两类非有限分次李超代数的拟有限不可约模，确定了这两类超代数及其偶部分的某些结构。交换映射理论是结合代数领域重要的研究内容。鉴于此，本项目研究了（3）无限维李（超）代数的交换映射理论：确定了几类无限维李（超）代数的双导子及其交换映射形式。另外，本项目还研究了一些与李代数或结合代数相关的代数图论问题。