可积系统尖峰孤立子解的轨道稳定性

Since the well-known Camassa-Holm integrable system was derived physically from the nonlinear model for the unidirectional propagation of the shallow water waves, we have seen a growing concern and interest in such the nonlinear integrable systems admitting peaked solitons (peakons). Peakons are solitons, recovering their shape and speed after nonlinear interaction, but compared with the classical solitons, their profile is smooth except at the crest where it is continuous but the lateral tangents differ. Up to now, besides the classical Camassa-Holm equation and Degasperis-Procesi equation, it is dicovered recently that some integrable systems admitting higher-order nonlinearity also support peakons, periodic peakons and multi-peakons. This program mainly considers the problems of orbital stability of peakons for the ntegrable systems. We try to, on the one hand, establish the rigorous mathematical proofs for such physical phenomena; on the other hand, explore and understand the effect of the particular integrable structures (such as bi-hamiltonian structures and infinitely many conservation laws, etc.) on describing the oribital stability of peakons.

自从1993年，Camassa 和 Holm 从单向传播的非线性浅水波模型中推导出著名的 Camassa-Holm 可积方程以来，这类具有尖峰孤立子解的非线性可积系统引起了人们越来越多的关注。尖峰孤立子是具有非线性弹性碰撞的孤立波，但是和经典的光滑孤立子相比，尖峰孤立子在波峰处具有连续但不光滑的尖点。到目前为止，除了经典的 Camassa-Holm 方程和 Degasperis-Procesi 方程以外，最近人们也发现了一些具有高阶非线性项的可积系统，例如修正的 Camassa-Holm 方程和 Novikov 方程等，也具有尖峰孤立子解、周期的尖峰孤立子解和多重尖峰孤立子解。本项目主要研究可积系统尖峰孤立子解的轨道稳定性，以期一方面给出描述这一物理现象的严格数学证明；另一方面理解可积系统的某些特殊的可积结构（例如双哈密顿结构和无穷多守恒律等）在刻画尖峰孤立子解的轨道稳定性中所起到的作用。

本项目的研究领域属于数学物理，研究方向是可积系统及其应用，主要研究内容包括多分量可积系统非光滑孤立波的稳定性、可积方程族之间的 Liouville 相关性以及多分量对偶可积系统的构造及其孤立波解的分类。已取得的主要结果和科学意义有以下三个方面。一是，研究了两分量 Camassa-Holm 可积方程组 (2CH) 的非光滑孤立波的稳定性问题，证明了在能量空间中，Camassa-Holm 尖峰孤立子和周期的尖峰孤立子所相应的波形在 2CH 流作用下是轨道稳定的。该结果为多分量可积系统非光滑孤立波的稳定性的研究提供了有益的思路。二是，系统地研究了几类具有典型非线性特征和非局部效应的可积方程族的 Liouville 相关性问题，分别证明了修正的 KdV 和修正的Camassa-Holm 可积方程族、Novikov 可积方程族和 Swada-Kotera 可积方程族、Degasperis-Procesi 可积方程族和 Kaup-Kuperschmidt 可积方程族、Short-Pulse 可积方程族和 Sine-Gordon 可积方程族之间的 Liouville 相关性，发现了 Camassa-Holm 方程和修正的 Camassa-Holm 方程、Degasperis-Procesi 方程和 Novikov 方程之间的非平凡内在联系。这些系列结果得到了审稿人的高度评价，是在可积方程族 Liouville 相关性研究方面的重要工作。三是，提出了将 Backlund 变换方法和 tri-Hamiltonian 对偶方法相结合的思路，研究了具有典型物理背景的两分量和三分量可积的色散水波系统和修正的色散水波系统的对偶可积结构，得到了多个新的对偶可积系统，针对两分量对偶的色散水波系统，分类了相应的孤立波解，发现了多类新的具有间断点的 Cuspon 型非光滑孤立波。我们的工作发现多个新的具有非线性色散结构的多分量可积系统，并发现了若干新的非光滑孤立波解的结构。