基于共形映射的复杂高维数据维数约简研究

The project target at handling the dimension reduction process for the complex high-dimensional data, especially for the issues like the measure and maintainability for multigeometric structure. The mapping of complex high dimensional data space is utilized to reduce the complexity of raw data. The superior characters like ration and scale invariance of nonsmooth dataspace facilitate the presentation for multigeometric properties of nonsmooth manifold data like the angle measurement, data distribution, and intrinsic association of data points. A reduction model for nonsmooth manifold data based on conformal mapping is built, and its realization is proposed. With the new model, the limitation of traditional data processing methods of tacking the issue of reduction for nonsmooth high dimension data, especially the characterize the geometric properties of the data, can be avoided. It also provides a creative solution for the reduction for complex and high dimensional data.

本项目针对复杂高维数据降维中多几何结构度量以及保持等核心问题，将共形映射理论引入到数据维数约简，利用其旋转角不变性和伸缩率不变性等优良性质，研究非光滑流形数据间角度度量及表征数据分布特性、内在关联等多几何性质度量的刻画与表示。建立基于共形映射的复杂高维数据约简模型，并研究其求解算法及实现。在复流形上探讨解决非平滑高维数据维数约简及其约简中几何性质的刻画与表示、多几何结构保持等传统方法无法克服局限问题，为复杂高维数据维数约简探讨新的理论工具和方法。

随着信息技术的快速发展，人类面临分析和处理各种海量数据的挑战。这些快速增加的海量数据不仅呈现几何级数增长，并且数据呈现维数高、规模大和结构复杂等特性，如何从高维数据中挖掘出能揭示和表示高维数据潜在结构、内在属性和规律，且符合实际应用需求的低维信息表示已经成为机器学习、模式识别等领域的关键问题。本项目深入研究了复杂高维数据降维以及共形映射理论，在此基础上探讨非光滑流形数据间角度度量及表征数据分布特性、内在关联等多几何性质度量的刻画与表示，在考虑数据的多几何结构的前提下结合数据的语义信息进行维数约简。具体而言，本项目开展了如下工作：（1）利用共形映射理论中的旋转角不变性和伸缩率不变性等优良的保形特性，设计了高维原始数据表征中数据间角度的度量与表示方法；（2）将数据角度性质与数据间的其它几何性质结合，构造了数据多几何结构的表示及实现模型；（3）建立了基于共形映射、实现数据多几何结构保持的高维数据维数约简模型并给出了实现算法；（4）将高维数据维数约简与其他相关问题进行结合，分别在跨模态检索、细粒度图像识别、医疗图像分割、零样本学习等领域中开展了尝试性工作，并取得了一些较好的结果。 本项目的研究内容一方面有利于共形映射理论的发展，推动数学方法在模式识别领域的应用；另一方面也将促进复杂高维数据降维的自身发展，为信号处理及计算机视觉等相关学科研究提供新的数据表示方法。