变分与拓扑方法对若干重要椭圆方程的应用研究

In this program we first pose a class of Klein-Gordon-Maxwell system with non-constant potentials and a quasilinear Schr?dinger-Poisson equation..By means of Ljusternik-Schnirelmann theory we study the existence, multiplicity and concentration behavior of positive solutions. Using the Lyapunov-Schmidt reduction method, we plan to investigate the existence of multi-bump solutions for Klein-Gordon-Maxwell system for the first time. We also study the existence of sign-changing radial solutions for Toda systems via the parabolic flow method. For a weakly coupled nonlinear Schr?dinger systems with the saturation effect, we firstly study the existence, concentration and the exponential decay of positive solutions. Applying the Nehari manifold method and concentration-compactness principle, we study the system of two Schr?dinger equations and obtain multiple positive solutions. Finally, for systems with coupling where none of the potentials are coercive, we prove the multiplicity of nontrivial solutions.

在本项目中我们首次提出一类具非常数位势的Klein-Gordon-Maxwell方程及拟线性Schr?dinger-Poisson方程，应用Ljusternik-Schnirelmann理论研究它们正解的存在性，多重性及集中性。首次应用利亚普诺夫约化方法研究Klein-Gordon-Maxwell方程多峰解的存在性。应用变分扰动方法研究Klein-Gordon-Maxwell及拟线性Schr?dinger-Poisson方程多个非平凡解的存在性。应用抛物流方法研究Toda系统径向变号解的存在性。首次提出研究具饱和效应的弱耦合Schr?dinger方程组正解的存在性、集中性及指数衰减性。应用Nehari流形方法及集中紧原则研究次线性（临界）二元Schr?dinger方程组多个正解的存在性。对于具非强制位势的二元Schr?dinger方程组，证明该方程组多个非平凡解的存在性。

本项目对几类具有重要应用背景的椭圆型方程（组）开展研究。我们首次提出研究一类具非常数位势的Klein-Gordon-Maxwell 方程，应用喷泉定理研究了无穷多个非平凡解的存在性。对一类具有临界指数增长的Kirchhoff方程，研究了其正解的多重性与集中性。.我们应用Ljusternik-Schnirelmann理论研究了一类拟线性临界增长的Schrodinger方程正解的存在性，多重性及集中性。.我们利用Szulkin和Weth的广义Nehari流形方法，得到了一类有界区域上Schrodinger-Poisson系统基态解以及无穷多解的存在性；首次应用罚函数方法和Ljusternik-Schnirelmann畴数理论研究一类带有临界指数项的分数阶Schrodinger方程正解的多重性与集中性，证明了正解的多项式衰减性。运用Nehari流形分解方法和局部极小化方法首次研究了一类分数阶临界指数增长的椭圆型方程组正解的分歧现象。.我们研究了一类具有衰减位势的Schrodinger-Poisson系统以及p-拉普拉斯Kirchhoff 方程变号解的存在性；考虑了一类具有周期位势和临界增长的Kirchhoff方程正解的存在性问题。. 我们应用变分方法研究了全空间上分数阶椭圆型方程组非退化基态解的存在性；运用Caffarelli和Silvestre的S-调和延拓方法论证了一类临界增长的分数阶Schrodinger方程正解的存在性和集中性；应用截断技巧、S-调和延拓方法和变分方法研究了一类分数阶方程组正解的存在性和渐进性。. 项目组主要成员邹文明等人对几类具临界增长的Schrodinger方程组，Bose-Einstein凝聚系统，奇异扰动Schrodinger方程等问题进行了深入研究，得到了一系列有关解的存在性、多重性和集中性方面的重要结果。