非线性方程中的拓扑与变分方法

本项目拟通过发展新的拓扑与变分方法，结合拓扑度理论、分歧理论、极大极小方法、指标理论、极小化方法等研究若干非线性方程,从而为拓扑度理论与变分理论的发展注入新内容、创造新思想、新方法，将在非线性分析理论与应用中有突破。本项目主要研究如下内容：1.把锥理论与格理论相结合，研究无穷维空间非线性算子的拓扑度计算，进一步丰富拓扑度的计算结果；2.把半序方法与拓扑方法相结合，研究分歧理论与非线性算子方程解的全局结构；3.把拓扑方法与变法方法相结合，研究非线性椭圆型方程、Dirac 方程、半线性薛定谔方程（组）等非线性微分方程解的存在性、多重性、解的类型、解的分析性质、几何性质、拓扑性质等。

本项目拟发展新的拓扑与变分方法，结合拓扑度理论、分歧理论、极大极小方法、指标理论、极小化方法等，研究非线性椭圆型方程、Dirac 方程、半线性薛定谔方程（组）等非线性微分方程解的存在性、多重性、解的类型、解的分析性质、几何性质、拓扑性质等。主要在如下方面取得了重要进展：1.把半序方法与拓扑方法相结合，研究分歧理论与非线性算子方程解的全局结构，在没有假定算子是锥映射，也不要求其在无穷远点Frechet可微的假定下，获得了非线性算子渐进岐点的存在性及它的全局结构。2. 把拓扑方法与变法方法相结合，分别研究了人们十分关心的“竞争”位势、磁场位势、临界非线性，得到一系列半经典解的存在性与集中现象的结果。具体有：(1) 首次刻画了稳态非线性Dirac方程半经典基态解的存在性以及解的集中现象，进一步研究了更一般的非线性Dirac方程基态解的集中现象；(2) 首次研究了带有临界非线性的Dirac系统半经典基态解的存在性与集中现象；(3) 首次刻画了带有磁场和临界非线性项的非线性Schrödinger方程经典解 ；(4) 首次刻画了非线性Maxwell-Dirac系统半经典基态解的存在性以及解的集中现象；(5) 研究了Dirac–Klein–Gordon系统，得到关于该系统半经典解的存在性与集中现象 。3. 首次研究了非线性Dirac方程周期解的存在性、解的多重性等。分别获得了Dirac方程在非线性项为次线性、超线性情形下有无穷多周期解的结果)；获得了具有凹凸非线性项的Dirac方程具有无穷多个极大能量周期解以及无穷多极小能量周期解的结果。