一般拟线性椭圆方程的若干变分问题研究

In this project, we will use the variational methods to study the existence and multiplicity of solutions to the generalized quasilinear elliptic equations and their coupling systems, as well as the number of nodal domains and concentration phenomena of the solutions. We are interested in the following seven problems.. (1) Applications of the dual method to generalized quasilinear equations, which was suspected to be impossible;. (2) The existence, multiplicity and concentration of solutions to the equations (systems) with sign-changing or decay potentials;. (3) The number of nodal domains of solutions and some problems associated to the sign-changing solutions;. (4) The phenomena of the solutions concentrating on the set of local minimum points of the potential;. (5) The variational theory of a class of degenerate equations as well as the existence and convergence properties of solutions for these equations;. (6) The existence and nonexistence of solutions to the equations (systems) with a combination of critical nonlinearities and sub-cubic nonlinearities;. (7) The existence of solutions to the equations (systems) with sub-cubic nonlinearities or singular nonlinearities.

本项目拟使用变分方法研究一般拟线性椭圆方程及其耦合系统解的存在性、多重性、解的集中行为和解的节点域个数等。我们将重点关注如下七个方面的问题：. （1）一般性拟线性椭圆方程的对偶方法研究（这之前似乎被认为是难以实现的）；. （2）带变号位势和在无穷远处消失的位势的拟线性方程（系统）的解的存在性、多重性和解的集中行为；. （3) 解的节点域个数问题及其他变号解问题；. （4）关于集中到位势函数局部极小值点附近的解的集中现象；. （5）一类特殊的退化方程的变分理论以及它们的解的存在性和收敛性；. （6）非线性项中同时含有次三次项和临界指数项时，拟线性方程（系统）的可解性；. （7）非线性项是次三次的或其中含奇异项时，拟线性方程解的存在性。

拟线性Schrödinger方程对应的变分泛函的定义域并不是一个线性空间，这给该问题的变分法研究带来了许多困难。在本项目的研究过程中，我们应用变分方法研究了拟线性Schrödinger方程解的存在性、多重性以及解的集中性。确切地，我们利用Pohozaev恒等式和单调技巧得到了次三次拟线性Schrödinger方程径向解的存在性，并使用变量替换技巧和Ljusternik-Schnirelmann定理得到了一类拟线性Schrödinger方程解的存在性、多重性和解的集中性质。此外，本项目还研究了几个非局部问题，并得到了一些解的存在性和多重性结果。