复函数空间中的微分方程与周期微分方程解的性质

The investigation of properties of the solutions of differential equation in the complex domain is an important and active field of research in function theory direction of fundamental mathematics. At present, there are relatively abundant research achievements, but there are still many problems needed to be further investigated. In the project, we intent to investigate properties of the solutions of differential equation in complex function space and periodic differential equation. For differential equation in complex function space, we will use all kinds of theories in complex function space to investigate several kinds of differential equations, estimate the growth of the solutions, explore sufficient conditions under which the solutions belong to different complex function spaces,the reverse problems and zero distribution of the solutions, and so on. For periodic differential equation, we will study the existence of regular solution, growth,the exponent of convergence of zeros of the solutions for some kinds of differential equations and the relationship between differential polynomial generated by the differential equations and small functions, and so on.

复域微分方程解的性质研究是基础数学函数论方向一个重要和活跃的研究领域，目前已取得较为丰富的研究成果，但仍有很多问题有待做进一步的研究。本项目主要研究复函数空间上的微分方程和周期微分方程解的性质两个方面的相关问题。关于复函数空间上的微分方程，我们将利用各种复函数空间的理论来研究几类微分方程解的性质，估计方程解的增长性，探索方程的解属于不同的复函数空间时的充分条件和相反的问题以及方程解的零点分布等问题。关于周期微分方程，我们将研究几类微分方程次正规解的存在性，方程解的增长性，解的零点收敛指数，及由方程的解生成的微分多项式与小函数的关系等问题。

关于线性微分方程的零点问题, 我们给出了高阶线性微分方程是Blaschke振荡方程的一些充分和必要条件; 关于特殊的二阶、三阶线性微分方程, 我们研究了方程给定零点序列问题, 所得结果完善了J.Grohn和J.Heittokangas等的结果; 关于微分方程的解所属函数空间问题, 我们找到了一般高阶线性微分方程的解分别属于Dirichlet空间和 F(p,q,s)空间的一些充分条件; 我们还得到更为一般的高阶非线性微分方程的解分别属于加权Hardy空间、Dirichlet型空间和H^p空间的若干充分条件, 所得结果推广了现有部分结果. 关于周期系数的微分方程, 我们研究了方程的次正规解的存在性问题, 并给出了方程无次正规解的几个充分条件, 同时估计了此时方程所有解的增长性和零点收敛指数. 培养了一些硕士研究生从事本方向的研究.