流形上的顶点算子代数层

本项目旨在研究流形上的顶点算子代数层，特别是chiral 结构层和chiral de Rham 复形。这两个层跟椭圆亏格关系紧密。而Chiral de Rham复形是弦理论中sigma 模型在度量趋向无穷的极限,特别在Calabi-Yau 流形上这个复形的整体截面有N=2的超共形结构. 基于这类层的重要性，我们将.（1）在顶点算子代数层上定义和研究跟代数结构相容的联络，研究chiral de Rham 复形的整体截面和上同调，在特殊的流形上找出全部整体截面；.（2）在流形上构造跟chiral de Rham复形有相似结构的层，研究用这些层来形成K理论；.（3）计算一个点上的chiral等变上同调；.这些研究将丰富该领域的内容,加深人们对sigma模型的理解，同时由于chiral 结构层和Witten亏格的关系，这个层上的联络将为研究H?hn-Stolz 猜想提供一条途径。

Chiral de Rham 复形Q是定义在复流形上的顶点算子代数层。它的上同调群是中sigma模型在体积趋向无穷的极限。本项目中我们主要研究了chiral de Rham 复形及相关的问题。我们主要得的到以下结果：..1.对应于Q，构造了两个分次的层　gr(Q) 和　gr2(Q), 利用　gr2(Ｑ) 可以计算Q 的 整体截面；.2.定义了一族类似 gr2(Q) 的层，在这些层上定义了典型的联络，从而计算了它们的曲率，在Calabi-yau流形上，这些联络的平均曲率有很好的表示，从而利用几何得到这些层的全纯截面的刻画, 特别是gr2(Q)的全纯截面的刻画可以帮助我们研究Q的整体截面； .3.计算了K3曲面上的 gr2(Q) 的全纯截面，从而得到了K3 曲面上chiral de Rham 复形 Q 的整体截面的生成元， 给出了K3 曲面上chiral de Rham 复形 Q 的整体截面的一组线性基。.对K3曲面上的chiral de Rham 复形的研究可能对理解 Mathieu Moonshine 有帮助.