Chiral de Rham 复形的上同调与Mathieu Moonshine

In this project, we will study the cohomology of the chiral de Rham complex on the complex manifold and apply the result to Mathieu Moonshine theory. Including:..(A) the cohomology of the chiral de Rham complex on the complex manifold, especailly on the K3 surface;..(B) the relation between the cohomology of the chiral de Rham complex on the K3 surface and Mathieu Moonshine.

本项目主要研究 复流形上chiral de Rham复形的上同调，并把研究结果应用于对Mathieu Moonshine 作几何上的解释。具体来讲包括：..（A）复流形特别是K3曲面上chiral de Rham 复形的上同调。..（B）K3曲面上chiral de Rham 复形的上同调与Mathieu Moonshine 的关系。

Chiral de Rham复形是1998年由F.Malikov, V.Shechtman和A.Vaintrob在复流形上构造的顶点算子代数层。其上同调与物理中的西格玛模型有很大的关系，并在复流形椭圆亏格的研究中有很好的应用。Mathieu Moonshine是关于最大的Mathieu单群的一个月光理论。我们研究K3曲面上chiral de Rham 复型的上同调, 并通过这些研究对Mathieu Moonshine理论作几何上的解释。我们在本项目中，.1. 证明了K3曲面上chiral de Rham复型的整体截面为一个单的N=4顶点算子代数；.2. 通过对K3曲面的chiral de Rham上同调的研究，构造了一个分次线性空间，它有Mathieu Moonshine 理论所需要的维数。.3.对一般的卡拉比-丘闭流形，我们把chiral de Rham 复型的整体截面空间等同于某些嘉当型李代数（special series和Hamiltonian series） 作用于βγ-bc系统的不变子代数。