平移曲面中的若干问题

The theory of translation surfaces is closely related to many branches of mathematics, such as complex analysis, dynamic systems, algebraic geometry and so on. Many famous mathematians did important work in this field. This project focuses on the following four questions: 1. The Hausdorff dimension of minimal non unique ergodic directions of translation surfaces. 2. The area of minimal triangles on Veech surfaces. 3. Classify translation surfaces generated by rational triangles. 4 . Apply translation surfaces theory to find the accessory parameters of Schwarz-Christoffel formula.

平移曲面理论与多个数学分支有密切联系, 如复分析, 动力系统, 代数几何等. 许多著名数学家都在这一领域做出了重要工作. 本项目主要研究以下几个问题 : 1、平移曲面极小非唯一遍历方向的 Hausdorff 维数. 2、Veech 曲面上最小三角形的面积计算问题. 3. 有理三角形诱导的平移曲面的分类问题. 4. 平移曲面理论在 Schwarz-Christoffel 公式附属参数确定问题中的应用.

给定亏格大于等于1的闭 Riemann 曲面和其上的全纯一次微分则得到一个平移曲面. 平移曲面的研究与多个数学分支相关，目前是国际数学研究的热点之一. 本项目中主要研究了两类问题. 其一是作为单个平移曲面中Veech 曲面的刻画问题. 其二是作为整体的亏格为2的具有两个一阶零点的平移曲面簇的分类问题..Veech 曲面是平移曲面中具有优动力系统性质的一类曲面. Vorobets 猜测：如果一个平移曲面上的三角形的面积有正下界，则该曲面是 Veech 曲面. Smillie 和 Weiss 证明了这一猜测，并给出了单位面积的 Veech 曲面上最小三角形面积的递减序列的前几个数. 这几个数都是由算术的Veech 曲面得到的. 因此，Smillie 和 Weiss 提出第一个非算术的例子是什么情况的问题. 本项目回答这一问题，给出了在一定条件下计算Veech 曲面上最小测地三角形的方法. 结合McMullen 关于亏格为2平移曲面的分类结果，找出了具有面积最大的最小三角形的非算术 Veech 曲面. .McMullen 给出了亏格为2的具有一个二阶零点的平移曲面的分类结果，但对于亏格为2的具有两个一阶零点的平移曲面的分类目前仍没有完全解决. 本项目研究了一类由两个标准环面通过沿水平方向撕裂粘合得到亏格为2且具有两个一阶零点的单参数平移曲面簇, 得到了两方面的结果. 其一是该簇平移曲面中算术Veech 曲面的刻画和其上最小三角形的面积，以及面积的极限性质. 其二是该簇平移曲面诱导的Teichmuller曲线的尖点个数的刻画. 由此结果可以得到平移曲面上Jenkins-Streble 方向的性质.