调和分析在与广义色散波方程解相关问题研究中的应用

Dispersive wave equation is one of the most important partial differential equations and has important applications in physics. This project is mainly devoted to study a class of generalized dispersive equation including the fractional Schrödinger equation, the Klein-Gordon equation, the Beam equation, the Boussinesq eqation, the fourth-order Schrödinger equation, and so on. Applying harmonic analysis methods and techniques, giving full play to the advantages of the maximal operator linearization method, temporal localization Lemma and dual method, we give estimate of maximal opreator associated with the generalized dispersive wave equation as well as estimate of along curve maximal opreator associated with the generalized dispersive wave equation. These estimates can characterize pointwise convergence properties of the solution to dispersive wave equations and along curve opreator associated with the generalized dispersive equation. Moreover, the study of this project is a natural extension and development of the operator theory in harmonic analysis as well as a promotion in investigating dispersive wave equation.

色散波方程是一类非常重要的偏微分方程, 并且在物理学中有着重要的应用。本项目主要针对包括分数次 Schrödinger 方程、Klein-Gordon 方程、Beam 方程、Boussinesq 方程和四阶 Schrödinger 方程等的一类广义色散波方程，我们将应用调和分析的方法和技术，充分发挥极大算子线性化的方法和时间局部化引理以及对偶方法的优势来给出该类广义色散波方程解相应的极大算子的估计，同时给出与该类色散波方程解相关的沿曲线极大算子的估计, 通过这些估计能够刻画该类色散波方程的解和与解相关的沿曲线算子的点态收敛方面的性质。本项目的研究不仅是调和分析领域中算子理论的自然延伸和发展，同时也将有助于色散波方程理论的研究。

本项目主要针对包括分数次 Schrödinger方程、Klein-Gordon方程、Beam方程、Boussinesq 方程和四阶 Schrödinger方程等的一类广义色散波方程，我们分别将极大算子线性化的方法和时间局部化的方法应用于一类广义色散波方程解的极大估计和与该类广义色散方程的解相关的沿曲线算子的极大估计进行了比较深入的研究，通过这些极大估计刻画了该类广义色散波方程的解和与该类广义色散方程的解相关的沿曲线算子的点态收敛方面的性质。本项目的研究不仅是调和分析领域中算子理论的自然延伸和发展，同时也将有助于色散波方程理论的研究。主要工作如下：我们利用极大算子线性化和对偶的方法以及Littlewood-Paley分解，在象征满足某些增长条件下,对高频和低频部分分别给出相应的估计，建立了该类广义色散波方程解的一些极大估计，这些极大估计扩充了已有的关于分数次Schrödinger方程解的极大估计的结果。同时我们利用极大算子线性化和对偶的方法，在象征满足适当增长条件下建立了与该类广义色散波方程的解相关的一些振荡积分算子的极大估计。同时利用时间局部化和对偶的方法，当象征满足适当增长条件和曲线关于时间变量满足阶Hölder条件且关于空间变量满足Bilipschitz条件时,我们建立了与该类广义色散方程的解相关的沿曲线算子的极大估计，并且讨论了该类沿曲线算子的点态收敛成立的问题。并且在当象征满足一定增长条件时，我们给出了该类色散波方程解不收敛于初值的集合的 Hausdorff 维数的上界，该结果扩充了已有的关于分数次Schrödinger方程解发散集的研究结果。