可积型收敛性加速算法的研究

As the interdisciplinary research of theory and applications on integrable systems and numerical algorithms becoming more and more extensive and deep, integrable numerical algorithms has become a hot topic in the world. Our project is centered on the reserch of integrable convergence acceleration algorithms. The main object is to construct some new convergence acceleration algorithms by studying the initial value problems of some new discrete integrable systems by Hirota's bilinear methods. On the one hand, we will get some new algorithms which are effective for logarithmic sequences by obtaining the determinantal solutions to initial value problems of some non-autonomous discrete integrable systems. On the other hand, we will consider the application of Pfaffian in convergence acceleration methods by studying the Pfaffian type solutions to initial value problems of discrete BKP type integrable systems, to construct some new types of convergence acceleration algorithms. Furthermore, we will study the connections of the new algorithms obtained above with continued fractions and Pade approximants. The project has important theoretical significance and underlying value of applications, it will help to enrich the content of integrable numerical algorithms. Especially, the application of Pfaffian in convergence acceleration methods will bring some new theoretical developments in the filed.

随着可积系统与数值算法越来越广泛和深入的交叉理论与应用研究，可积数值算法已成为当前国际上的热门研究课题。本项目我们将重点研究可积型收敛性加速算法，主要运用Hirota双线性方法研究最新发展的离散可积系统的初值解，以构造新的收敛性加速算法。一方面研究非自治离散可积系统的行列式形式初值解，构造对对数序列有效的新算法。另一方面通过研究离散BKP型可积系统的Pfaffian形式初值解，探讨Pfaffian在收敛性加速方法中的应用，构造新型的收敛性加速算法。此外，我们将进一步考虑以上所得的新算法与连分式和Pade逼近的联系。本项目的研究有助于丰富可积数值算法的内容，尤其是Pfaffian的应用将在收敛性加速方法领域带来新的理论发展，具有重要的理论意义和潜在的应用价值。

本项目，我们主要围绕收敛性加速算法与可积系统展开研究。一方面，我们运用Hirota双线性方法和行列式技巧求解了一类推广的离散Lotka-Volterra系统的初值解，从而构造了一个新的收敛性加速算法，我们前期构造的多步epsilon算法是这个新算法的一种特殊情形。另一方面，我们提出了一种构造非自治离散可积系统的新方法，我们将这个方法应用于多步epsilon算法，构造了该算法的一种推广，并且得到了非自治的离散Lotka-Volterra方程。此外，我们基于收敛性加速算法中已有的epsilon算法和rho算法构造了一个新的收敛性加速算法，我们将算法应用于一些线性收敛、对数收敛和超线性收敛序列的收敛性和稳定性给出了理论分析，并通过数值例子说明算法对很多线性和对数收敛序列，及发散级数是有效的。我们的研究丰富了可积数值算法的内容，进一步促进了数值算法与可积系统的交叉研究。