离散可积系统分子解的研究及其应用

The molecule solutions of discrete integrable systems has important applications in many fields of mathematics, e.g.,numerical algorithms, orthogonal polynomials, combinatorics and so on, these interdisciplinary research have become hot topics in the world. This project is centered on the study of Hankel or block Hankel determinants and Pfaffian type molecule solutions of some discrete integrable system by bilinear method. On one hand, we will apply such solutions to construct new convergence acceleration algorithms, orthogonal polynomials and combinatorial models. On the other hand, we will try to construct new integrable systems by generating the new results. The project will help to get further understand and knowledge of the mathematical structures of discrete integrable systems, also it will help to enrich the content of integrable numerical algorithms, integrable systems and orthogonal polynomials and integrable combinatorics.

离散可积系统的分子解在数学的很多领域例如数值算法、正交多项式、组合数等都有着重要的应用，这些交叉领域的研究已成为当前国际上的热门研究课题。本项目，我们将重点运用双线性方法研究一些离散可积系统 Hankel 型或者块 Hankel 型行列式形式和 Pfaffian 形式的分子解，一方面考虑应用这类解来构造新的收敛加速算法、正交多项式、组合模型，另一方面通过推广研究所得新的结果来构造新的可积系统。本项目的研究有助于对离散可积系统的数学结构有进一步的了解和认识，也有助于进一步丰富可积数值算法、可积系统与正交多项式、可积组合学这些方面的内容。

本项目，我们主要研究可积系统和收敛加速算法、斜正交多项式及组合数的联系，在这些交叉领域的研究中取得了一些结果。具体如下：（1）通过研究一个离散mKdV方程的分子解，发现该系统与收敛加速算法、斜正交多项式和组合数之间存在着密切的联系；（2）将Pfaffian应用于收敛加速算法，定义了新型的序列变换，并构造了BKP型可积的递推算法；（3）提出了部分斜正交多项式的概念，得到了一些新的可积系统，其中一个离散方程可以用来计算广义逆向量的Padé逼近；（4）我们基于已有的经典收敛加速算法epsilon算法、rho算法及推广的rho算法构造了一个新的收敛加速算法，新算法的递推方程包含上述三个算法的递推式，并通过数值例子说明该算法适用于很多线性收敛序列、对数收敛序列和发散级数；（5）通过研究Degasperis-Procesi方程的peakon解，构造了CKP型的有限Toda格，并给出了方程的Lax对。这些成果促进了可积系统与数值算法、斜正交多项式和组合数的交叉研究。