p-adic典型群上正规化结算子的零点

On reductive connected algebraic groups, for representations induced parabolically from generic unitary supercuspidal representations of their Levi subgroups, Shahidi defined their L-functions, established their functional equations, and determined their reducibilities. This is the famous Langlands-Shahidi method, it was done by studying the poles at s=0, zeros on the real axis of the standard intertwining operators associated to these representations, and using the uniqueness of the Whittaker model. The functions related to these poles and zeros are the main factors of local L-functions.. The main purpose of this project is to study the representations on p-adic classical groups induced parabolically from general unitary supercuspidal representations, determine the zeros of the associated standard intertwining operators on the real axis, so as to for one purpose determine their reducibilities. In our last project, we have successfully determined the poles at s=0 of these operators, and transformed the evaluation of the standard intertwining operators to two classes of orbit integrals. These orbit integrals do not depend on whether the inducing representations are generic or not, and they correspond to standard local L-functions. In this way, we hope that we can extend some relative theories on generic inducing representations to general ones

在约化、连通的线性代数群上，由该群的极大抛物子群上的generic、可单位化的超尖点表示所导出的表示，Shahidi定义了L-函数，建立了函数方程，确定了导出表示的可约点等。这就是著名的Langlands-Shahidi方法，它的建立是通过研究与导出表示联系的正规化结算子在s=0处的极点、在实轴上的零点及利用了Whittaker模的惟一性获得的。这些极点与零点所确定的函数，是L-函数的主要因子。. 本项目的研究目标是在p-adic典型群上、对由极大抛物子群上的一般超尖点表示所导出的表示，确定正规化结算子在实轴上的零点，以确定其可约性。在上一个项目中，我们已经确定了该算子在s=0处的极点，并将对正规化结算子的研究转化为对两类轨道积分的研究。这些轨道积分不依赖于原表示是否generic,且它们对应标准的局部L-函数。由此可将generic表示的相关结论推广到一般情形。

p-adic线性代数群上的局部调和分析是局部和整体郎兰兹纲领的主要研究内容之一，而与导出表示联系的正规化结算子是研究表示的可约性、函子性等的重要工具，是定义局部L-函数，描述L-函数方程，进而研究郎兰兹互反律、刻画伽罗华表示的性质等工作的重要手段。本课题主要研究p-adic典型群上，联系由其极大抛物子群上的超尖点表示所导出的表示的正规化结算子在实轴上的零点问题以及局部提升问题，从而决定导出表示的可约性、在导出表示不可约时研究这些超尖点表示之间的函子性。再根据正规化结算子的乘积性，确定所有表示的局部L-函数包。