典型群上的局部theta提升

Local theta lifting is an important tool of constructing representations of Lie groups, which was introduced by Roger Howe in 1970s. In the past forty years, local theta lifting was used to construct a lot of significant representations, and was widely concerned in the study of automorphic forms. In this project, we mainly concentrate on the following questions on local theta lifts. Firstly, we expect to prove the automatic continuity conjecture on local theta lifts over the real number field. Secondly, we study the non-vanishing property of theta lifts for quaternionic orthogonal groups and try to give an explicit description of these lifts in terms of Langlands parameters. Finally, we study the irreducibility of full theta lifts over p-adic fields. We expect to find out representations beyond the supercuspidal case, whose full theta lifts are irreducible.

局部theta提升是上世纪七十年代由美国科学院院士R.Howe引进的一种构造李群表示的工具。在过去的四十多年中，局部theta提升被数学家们用于构造很多重要的表示并被广泛应用于自守函数的研究。在本项目中，我们拟研究解决下列问题：首先，我们计划证明实数域上关于局部theta提升的自动连续性猜想；其次，基于申请人之前的工作研究一般四元数正交群上局部theta提升的非零性和Langlands参数刻画；最后，我们计划研究p进域上完全theta提升不可约性判定问题，并找出超尖表示之外完全theta提升不可约的表示。

李群表示论是基础数学中的一个重要分支，和数论、理论物理有着密切联系. 表示的同调和上同调理论是研究群表示的重要工具. 近几年来，仿射Nash群被认为是构造Schwartz同调理论的合适对象空间，其上的结构和表示理论也成为数学界关心的热点话题. 本项目在之前相关工作基础上，在这领域取得了一系列研究成果...在仿射Nash群结构理论研究上，通过代数化方法仿射Nash群范畴和实代数群范畴建立了紧密联系. 我们可以将实代数群结构理论的很多结果推广到仿射Nash群. 我们运用Galois descent理论在复阿贝尔簇已经分类结果基础分类了实阿贝尔簇. 通过对实阿贝尔簇的分类，我们完成了实阿贝尔簇在仿射Nash群范畴中的对应对象-交换Nash流形的分类. 在实阿贝尔簇分类基础上，我们成功给出了实交换连通代数群的一组参数刻画. 我们将原有的代数化方法推广到单连通局部Nash群，并以此分类了连通交换局部Nash群...拟线性Nash群范畴是仿射Nash群范畴的一个子范畴. 拟线性Nash群光滑缓增表示的Schwartz同调理论在近几年已经构建成功. 在表示论研究中，同调的分离性质是数学界关心的重要性质. 已经证明了维数有限性是分离性质的充分条件. 我们通过归纳方法成功证明了一类表示的同调有限性，为Schwartz同调理论的具体应用奠定了理论基础.