有限域上典型群的几个应用

The classical groups over finite fields, linear shift register sequences of stream ciphers, and coding of communication systems are inherently connected. It is from the  mathematical theoritical interest and the actual needs of computer sciences and communication applications to study them interdisciplinarily. In this project, based mainly on the theory of clasical groups over finite fields, we plans to carry out the following work: to design a synthesis algorithm for the linear recursive sequences over Galois rings, and then calculate the linear complexities of such sequences; to give an explicite and opearatable algorithm for the finite oscillator dictionary using the representations of classical groups over finite fields ; to study the graphs constructed from symplectic, unitary and orthogonal geometries, then to study the graph coding on these graphs. Results of the project will enrich the theory of finite fields, and provide new methods and ideas for cross-over studing some of these problems.

有限域上的典型群，流密码中作为基础的线性移位寄存器序列和通信系统的编码等, 这些研究对象之间存在着内在的紧密联系，对它们的交叉研究既有数学理论上的兴趣，又有着计算机和通信应用的实际需要。本项目拟基于有限域上典型群理论开展如下工作：伽罗华环上线性递归序列的综合算法的设计，并用此算法计算序列的线性复杂度；利用有限域上典型群的表示，对通信领域的有限谐振系统的编码序列给出一些明确、可操作的算法；研究由辛几何、酉几何和正交几何构造的图的性质，在此基础上研究这些图的编码问题。项目的研究成果可以丰富有限域的理论，并且为其中若干问题的研究提供新的思路和方法。

有限域理论是现代数学的重要研究内容之一。最近几十年间, 随着计算机技术的发展和普及, 有限域理论的发展对现代数学产生了深远影响。利用有限域上典型群的几何学对组合学、编码密码等领域进行研究是本项目的主要内容。我们计划的研究主要内容是（1）得到伽罗华环上序列的连分式算法；（2）利用典型群的表示简化有限谐振码的字典算法；（3）研究酉图次成分性质及对称性。经过项目资助实施后得到结果如下：对这些构造的强正则图，研究其相关的性质，特别是研究两类次成分的性质及自同构群。刻画自同构群是比较困难的，我们充分运用典型群的几何学，有限域上方程计数的技巧以及次成分的组合结构，完全确定了酉图、特征2的正交图的次成分的自同构群。在研究酉图的自同构群的过程中，我们发现具有酉内积的代数结构在保持正交性时具有很好的性质，我们也将此性质推广到特征0的域上。作为典型群的应用，我们利用典型群的表示简化了有限谐振码的字典算法。