多尺度下微分系统的分岔理论和应用

In the past 20 years, many people studied bifurcation theory of nonsmooth system and Singular perturbation theory. Llibre and Dumotier el. published a series of pioneering works. For example, Chebyshev system was used to estimate the zeros of Melnikovian, blow-up technique filled out the gap in geometric theory of singular perturbation; Under multiscales, a system could be nonsmooth or singular. There must be a inner relation between these two problems.By improving the formula of slow divergence integral, we solved some difficult problems. We believe there is a big chance to develop this theory, and now the works along this direction appear in China not too much. We hope to use and develop current theory, in order to solve more difficult problems in the study of qualitative theory, and to provide new tools to study some mathematical models with different time-scales, arising from engineering, biology, economics.

近20年来，非光滑系统的分支理论和奇异攝动理论成为研究热点。Llibre和Dumotier等分别发表了一系列开创性的工作。例如Chebyshev系统丰富了Melnikov函数的零点估计;Blow-up技巧弥补了几何奇异攝动理论的不足；微分系统在多尺度条件下,可以呈现为分段或奇异攝动问题。两类问题间必然存在内在的联系。利用改进了的慢发散量积分公式，我们解决了一些原来感到棘手的问题。我们认为，这个研究方向有很大发展空间，目前在国内应用上述最新理论所作的研究还很少。本项申请旨在利用并发展微分系统在多尺度条件下的动力学行为,在正则扰动和奇异摄动下的分支理论。进一步解决定性理论中的一些难题，并为从工程、生物、经济等领域提出的一些具不同时间或空间尺度的问题，提供新的解决方法。

项目预定目标顺利完成。主要关注于多尺度下动力系统定性理论、分岔理论和奇异摄动理论及其应用. 开展了如下三方面的研究: i) 弱Hilbert-16th问题: Melnikov函数、周期函数临界点等; ii) 非光滑动力系统的分岔理论: 分段可积系统的Melnikov函数理论、全局定性分析等; iii) 奇异摄动系统、高维动力系统及应用: 周期问题、Bianchi宇宙模型、神经元FN模型等。我们引入相对上同调，给出了光滑和分段光滑Hamiltonian系统的高阶Melnikov函数的新算法. 进而应用于退化二次双中心、四次Hamiltonian系统和具有奇异直线的可积系统分支出的环性问题, 给出一般n次拟齐次系统的中心焦点判据; 应用于非对称分段线性Hamiltonian系统, 可以运用低阶Melnikov函数得到更多的极限环; 研究具有非正则分段直线的分片光滑系统, 证明分块扇区的角度和扇区数是引起极限环增多的原因, 阈值为0°和180°等理论结果. 在应用方面, 证明神经元FN模型不存在代数行波解；Bianchi-B宇宙模型不存在周期解; 利用分段系统定性理论, 分析了脑血管内乳酸代谢模型; 运用几何奇异摄动理论, 研究Poisson-Nernst-Planck细胞膜离子通道(PNP)模型, 阐释了实验中大电荷下, 粒子运动特性的产生机制. 这些工作总结为22篇论文, 发表在Siam、JDE、JGM等国际学术杂志上, 其中部分结果在国际学术会议或高校报告交流. 这些结果发展了研究问题的新方法, 从理论上丰富了多尺度下动力系统定性理论和分支理论. 进而在应用上可以对实际问题提供定性和定量的处理方法.