谱图理论专题及其在医学图像配准中的应用

谱图理论的研究目标是应用图的谱性质来刻画图的结构性质，是当今国际代数组合和组合矩阵论研究的一个重要课题。本项目将应用组合矩阵论、随机矩阵论和概率方法，研究谱图理论中若干前沿热点专题，内容涉及到：图的极端特征值及其特征向量的组合结构性质、图的整体结构性质的谱刻画、复杂图（复杂网络）的谱性质等，期望通过研究发掘图的谱参数和其结构参数的更多内在联系。本项目的另一个研究内容就是把谱图理论应用于医学图像配准研究；根据医学图像的内部几何特征构造结构图，应用结构图的矩阵表示的特征空间，实现图像特征的谱表示和谱匹配，在谱匹配的基础上结合其它算法，获取图像之间的配准。医学图像配准是实现图像信息融合的基础与前提，广泛应用于疾病诊断和术前规划等领域。.本项目的研究对组合数学、随机矩阵理论、理论计算机科学、医学图像信息学等领域有重要的理论意义和应用价值。

本项目主要研究谱图理论中若干前沿热点问题及其在医学图像配准中的应用。研究成果包括：（1）给出了含割点图的几种经典矩阵的非平凡最小特征值的扰动理论。通过刻画图的无符号Laplace矩阵的第一特征向量的结构性质，给出图的无符号Laplace矩阵的最小特征值的扰动结果，约简了若干极值谱问题或猜想，并建立了该特征值与悬挂点数、控制数的联系。应用图的Fiedler向量的结构性质，给出图的Laplace矩阵的次小特征值的扰动结果，并建立了该特征值与控制数、匹配数、边覆盖数的联系。（2）应用代数方法刻画图的二部属性，引入了图的点/边二部度和代数二部度的新概念，并建立它们之间的联系以及代数二部度与图的边割的联系。应用图的边二部度，证明了Cvetkovic, Rowlinson和Simic于2007年提出的关于图的无符号Laplace谱跨度的猜想，并获得更为精细的结果。（3）首次探讨了符号图的零度，给出具有悬挂树的符号图的零度分解定理，刻画了具有极端零度的符号图，确定了具有极端零度的单圈和双圈符号图。引入图的泛邻接矩阵，探讨其最小秩，揭示多种经典矩阵表示的共性。（4）应用图的邻接矩阵谱或无符号Laplace谱，获得稠密图具有Hamilton圈或是Hamilton连通的充分条件。应用图的规范Laplace谱，给出稀疏图具有Hamilton圈的充分条件，这是继Krivelevich 和 Sudakov应用邻接矩阵谱、Butler 和 Chung应用Laplace谱之后仅有的关于稀疏图的Hamilton性三个结果，且我们的结果蕴含了前二者的结果。获得了随机图的谱矩和Estrada指数的显式表达，刻画了这两类谱参数的主体属性（即几乎所有图所具有的属性）。（5）应用有向图的反对称矩阵表示、线图的无符号Laplace谱，并结合其他方法，如局部相对形状上下文、非抽样Contourlet 变换、尺度不变特征变换，给出点模式特征的匹配算法，并在此基础上获得图像配准。. 项目组成员共发表论文36篇, 其中被SCI收录15篇、EI收录17篇、ISTP收录1篇。研究成果获得安徽省自然科学奖三等奖。举办了“2013图与组合国际研讨会”，参加国际及国内会议15次。培养了25名硕士生、2名博士生，指导了1名博士后人员。1人入选第四批安徽学术和技术带头人。