两类自相似高斯过程的赋权幂变差研究及其应用

In recent years, there has been considerable interest in studying fractional Brownian motion due to its applications in various scientific areas. Many authors have also proposed using more general Gaussian processes and random fields as stochastic models. However, the complexity of dependence structures has brought so many difficulties and challenges in studying them. This project aims to establish some new results in different topics of stochastic analysis. First, by combining the Stein’s method and Malliavin calculus, the asymptotic behavior of a large variety of functionals of Gaussian processes, including multiple stochastic integral, weighted power variation, will be investigated. A second object of the project is to obtain the results on stochastic differential equation with Gaussian noises and stochastic partial differential equation with fractioanl noises with the help of techniques of Malliavin calculus.

最近几年，关于分数布朗运动的研究备受人们的关注和重视，主要由于其在很多领域有着重要的应用。与此同时，很多学者建议使用更一般的高斯过程和随机场作为一些现象的随机模型，但是它们自身复杂的相依结构却给研究带来了一定的难度和挑战。本课题旨在研究两类自相似高斯过程的赋权幂变差及其应用，为该方向的研究充实一些有意义的内容。首先拟结合Stein方法和Malliavin 计算来研究两类高斯过程及相关泛函（包括多重随机积分、赋权幂变差等）的渐近行为及相关问题；作为上述结果的应用，研究由两类高斯噪声驱动的随机微分方程和分数噪声驱动的几类随机偏微分方程。

最近几年，关于分数布朗运动及其高斯型扩张的研究越来越受到人们的重视，其原因是它们的重要性质和在各种科学领域的广泛应用，而且本身也存在着很多有意义的问题值得研究。由于很多随机分析的经典结果和传统技巧很难被直接推广到分数布朗运动等高斯过程的研究中，这使得这类问题的研究具有一定的技巧性和创新性。但是作为高斯过程人们可以使用Malliavin计算建立它们的随机分析，并进行相关问题的研究。. 本课题的主要目的就是深入研究分数布朗运动及其高斯型扩张的随机分析及相关问题。研究它们导出的随机过程，获得一些有意义的理论结果。主要研究结果可以分为两部分。第一部分中，研究了次分数布朗运动的自相交局部时；讨论了次分数布朗运动的幂变差及自相似参数的估计；研究了由次分数布朗运动驱动的随机微分方程的交互信息；研究了一个关联与双分数布朗运动积分泛函的幂变差；研究了分数布朗单漂移的参数估计。第二部分中，研究了分数噪声驱动的两类随机偏微分方程，证明了适度解的存在唯一性，讨论了适度解的轨道Holder连续性，证明了适度解的密度的存在性；最后研究了分数噪声驱动的一类随机分数阶方程的弱逼近问题。