带可分解性质的两类组合设计问题研究

Resolvable problems are import subjects in combinatorial design theory and have been widely used in many areas. The problem for the existence of large sets of kirkman triple systems (LKTS) is an outstanding open problem in combinatorial design theory. Frame derived H-design(FDH) not only has strong combinatorial properties but also has close relation with LKTS. This project plans to apply combinatorics, algebra, graph theory and other mathematic tools to study two classes of block designs and extends the results. More specifically, the research on LKTS will try to solve the direct construction of some key orders and study the recursive construction systematiclly. The study of FDH focuses on the direct construction of FDH(v,2,4,3) and the relations between LKTS and FDH. In addition, distributed algorithms will be researched to satisfy the large scale computing.

带可分解性质的组合设计是设计理论的重要研究对象，有着广泛的应用。柯克曼三元系大集（LKTS）问题是组合设计领域中最为著名的公开问题之一。导出设计为Frame的H设计（FDH），不仅自身拥有良好的性质，而且与柯克曼三元系大集有密切联系。本项目拟借助组合学、代数、图论等数学工具系统地研究这两类组合设计，扩大它们的存在性结果。具体而言，LKTS的研究主要针对一些关键小阶数的直接构造并系统研究LKTS的构造方法；FDH的研究主要扩大FDH(v,2,4,3)的直接构造结果并系统研究FDH与LKTS关系。此外，由于涉及大量的计算，设计高效的分布式计算算法也是本项目的一项研究内容。

项目主要研究对象为带可分解性质的组合设计对象的直接构造问题。完成了分布式计算算法设计以及相关代码的编写。根据编写的分布式程序，研究了400以内v-2为素数时柯克曼三元系大集(LKTS)的直接构造问题和100以外导出设计为Frame的H设计(FDH)。400以内LKTS(v)的直接构造情况为目前可以快速构造出满足特殊条件的LSTS，但无法将得到的LSTS进行分解。FDH问题的结果扩大到100以外，目前在尝试解决 200以内满足特殊条件的FDH存在性问题。对构造LKTS的重要设计LR(21) 直接构造进行了研究，并将LR(21)存在性归结到寻找一对特殊的KTS上。解决了2n+1为素数时n阶完美置换存在性，并利用完美置换来构造均衡拉丁方。参与完成了组型一致时3-semiframes存在性问题。