分数阶扩散差分矩阵的结构预处理与快速计算

Fractional diffusion equations have caused universal attention and received widespread concern in many research areas of science and engineering, as they can meticulously and accurately describe and clearly and concisely express physical characteristics and phenomena of the real-world problems. Hence, it is theoretically important and practically valuable to research structurally preconditioned Krylov subspace iteration methods and their convergence theory for solving the large scale, highly ill-conditioned, and completely dense systems of linear equations arising from adequate difference discretizations of these partial differential equations. This project aims at structurally constructing economical, practical and effective preconditioners for the fractional diffusive difference matrices. Meanwhile, we are going to penetratingly analyze distribution behavior and clustering extent of the eigenvalues of the correspondingly preconditioned matrices, as well as their effect and influence on the convergence property and numerical behavior of the Krylov subspace iteration methods.

分数阶扩散方程能够更为细致而准确地刻画和清晰而简洁地表述实际问题的物理特性和现象，因此它们在科学与工程的许多研究领域得到了普遍重视和广泛应用。研究关于这类偏微分方程经合适的差分离散所产生的大规模、高度病态且完全稠密的线性方程组的结构化预处理子空间迭代方法及其收敛性理论，就具有重要的理论意义和很高的应用价值。本项目主要为分数阶扩散差分矩阵构造经济、实用且高效的结构化预处理子；同时，将深刻分析预处理矩阵的特征值的分布性态和聚集程度，及其对于子空间迭代方法的收敛性质和数值行为的作用和影响。

分数阶扩散方程能够更为细致而准确地刻画和清晰而简洁地表述实际问题的物理特性和现象，因此它们在科学与工程的许多研究领域得到了普遍重视和广泛应用。研究关于这类偏微分方程经合适的差分离散所产生的大规模、高度病态且完全稠密的线性方程组的结构化预处理子空间迭代方法及其收敛性理论，就具有重要的理论意义和很高的应用价值。..在本项目的执行期间，对于各向同性或各向异性的空间分数阶扩散方程，据其离散矩阵所具有的具体结构和特殊性质，我们分别相应地构造出了结构化的矩阵分裂型高效预处理子，用以有效地改善和加速Krylov子空间迭代方法的收敛性态。对于标准和广义鞍点型线性方程组，基于鞍点矩阵的Hermitian和反Hermitian分裂，采用矩阵正则化技术，并利用交替分裂迭代思想，我们构造出了一类正则化HSS迭代方法，并系统、深入、细致地讨论了这类迭代方法及其相应的预处理矩阵的理论性质和计算实现。同时，我们还开展了关于随机数值代数的算法和理论方面的研究工作，特别是面向大数据的超大规模线性方程组的随机迭代方法及其收敛性理论方面的探索和研讨，并业已取得了实质性的进展。..这些研究工作，不仅为数值求解离散的空间分数阶扩散方程、鞍点线性方程组、以及一般线性方程组提供了可行而高效的线性代数解法器，而且也促进了数值代数学科和科学工程相关应用领域的共同协调发展。