空间分数阶对流扩散方程的特征差分格式研究

在自然科学的众多领域中，许多现象是用扩散方程描述的，例如化学扩散、热传导、医学、生化和某些生物反应过程等。一般来说，正常扩散过程可用二阶对流扩散方程来描述；而反常扩散过程则可用分数阶对流扩散方程来描述，因此研究空间分数阶对流扩散方程的数值算法具有重要的理论和实际意义。首先，我们对微分方程中的空间分数阶Riemann-Liouville导数,利用移位Grünwald公式来近似离散，从而构造出方程的半离散格式；对于1阶时间导数和对流项，则利用特征线法来近似离散，进而建立方程的特征差分格式。然后，利用矩阵分析和Sobolev空间等理论知识，对特征差分格式的收敛性、稳定性、相容性和误差估计等问题进行研究分析。最后，通过数值算例和模拟试验来验证理论结果，验证特征差分格式的优越性和高效性。并可将此研究结果应用到地下水、油田等实际中去，为求解困难、计算复杂的分数阶微分方程，提供更加高效的新数值算法。

我们可以用扩散方程来描述自然科学领域的许多现象，如化学扩散、热传导、医学和生化等。通常情况下，用二阶对流扩散方程来描述正常扩散过程可；用分数阶对流扩散方程来描述反常扩散过程，本项目正是研究空间分数阶对流扩散方程的数值算法。首先，我们对微分方程中的空间分数阶Riemann-Liouville导数,利用移位Grünwald公式来近似离散，从而构造出方程的半离散格式；同时，对于一阶时间导数和对流项，则利用特征线法来近似离散，进而建立方程的特征差分格式。然后，利用矩阵分析和Sobolev空间等理论知识，对此特征差分格式的稳定性、相容性、收敛性和误差估计等问题进行研究分析，并取得了良好结果，达到了预期目的。最后，又使用了大量的数值算例和模拟试验来分析验证所得理论结果，从实际方面证实了此特征差分格式的优越性和高效性。