由圈空间和键空间所构成的张量的若干问题的研究

A tensor of order(p,q) is a multilinear function from the cartesian product of the vector space V and its dual space V* to R.The eigenvalue problems of higher-order tensors have become an important topic of study in a new applied mathematics branch, numerical multilinear algebra. They has a strong practical background and wide applications in digital image restorations, psychometrics, chemometrics, econometrics and multiway data analysis and so on. In our project, we mainly study the eigenvalues and the spectrum of the tensor defined on the cycle space and the bond space of graph G according to the dimensions of the two spaces.

一个阶数为（p,q）的张量是定义在若干个向量空间V和它的对偶空间V*的笛卡尔积到实数集上的多线性函数。高阶张量的特征值问题在新的应用数学的分支和数字多线性代数方面已经成为一个重要的研究课题，并且它们有很强的实际背景，在数字图像恢复、心理测验学、化学计量学、计量经济学和多路数据分析等方面都有广泛地应用。本项目主要以图G的圈空间作为向量空间V，以图G的键空间作为它的对偶空间V*，研究这两个空间的笛卡尔积到实数集上的双线性函数所对应的张量的特征值问题。首先研究图G的这两个空间维数相同时所对应的张量的特征值和谱半径；其次研究图G 的这两个空间维数不同时所对应的张量的特征值和谱半径。

高阶张量的特征值问题在新的应用数学的分支和数字多线性代数方面已经成为一个重要的研究课题，并且它们有很强的应用背景，在数字图像恢复、心理测验学、化学计量学、计量经济学和多路数据分析等方面都有广泛地应用。本项目首先在已有非负长方形张量的Perron-Frobenius定理基础上，研究两类广义长方形张量的Perron-Frobenius定理。在定义非负广义长方形张量的不可约性的基础上，证明了两类非负广义长方形张量得谱半径是正的，并且具有正的特征向量，同时给出了计算这两类非负广义长方形张量谱半径的算法。其次，以图G 的圈空间作为向量空间V，以图G 的键空间作为它的对偶空间V*，研究这两个空间的笛卡尔积到实数集上的双线性函数所对应的张量的特征值问题。首先研究图G 的这两个空间维数相同时所对应的张量的特征值和谱半径；其次研究图G 的这两个空间维数不同时所对应的张量的特征值和谱半径。我们已有的结果对于高阶张量的实际应用提供了理论依据。