双圆盘Hardy空间上子模的若干性质

One important topic of operator theory is via the study of Hilbert module of analytic function spaces and the corresponding Toeplitz operators. The interplay between the ideas and methods from operator theory and functional analysis with methods and ideas from function theory, commutative algebra and complex geometry gives the field a strong interdisciplinary character. Our project aims to study the norm decomposition of operator-valued inner function in the Beurling-Lax-Halmos theorem for the submodule that generated by lifting the invariant subspace of Bergman shift to the Hardy space of bidisk. During the study, one goal is to give new proofs of several well-known results in Bergman space. In the meanwhile, we’ll also characterize several submodules over bidisk via Beurling-Lax-Halmos theorem. In particular, based on the characterization of a pathological example, we plan to answer the existence of two submodule with no non-trivial intersection.

解析函数空间上Hilbert模以及相关Toeplitz算子的研究是算子理论的核心课题之一，函数论、交换代数和复几何的手段与一般算子理论的方法相结合，具有很强的跨学科特点。本项目拟将Bergman移位的不变子空间嵌入到双圆盘Hardy空间，由提升后双圆盘上子模的游荡子空间的细致刻画，结合双圆盘Hardy空间子模的Beurling-Lax-Halmos定理，考虑其中算子值内函数的正规分解问题。在研究这一问题过程中，系统的用Bergman空间嵌入到双圆盘Hardy空间的手法给出若干经典定理的新证明。同时，也利用Beurling-Lax-Halmos定理对双圆盘Hardy空间上的单生成子模进行刻画，特别的通过考虑一类有奇特零点的子模，回答双圆盘Hardy空间上是否存在两个子模交为零的问题。

本项目的研究包括两方面内容：1. Bergman空间上的Toeplitz算子的代数性质；（2）双圆盘Hardy空间上子模的结构。在第一方面，我们得到在一定符号限制条件下，两个Toeplitz算子乘积为另一个Toeplitz的有限秩扰动的结论。特别的，分别对秩为1和秩大于1的情况进行了刻画。在第二方面，我们研究了由零点生成的一类子模以及Rudin给出的一类不含有非平凡的有界解析函数的子模，得到了皆为Hilbert-Shmidit子模。