有限交换群环的K群及NK群

For a finite abelian p-group G, we want to study the explicit structures of K2-group of a quotient ring of its group algebra over a finite field of characteristic p and K2-groups of its group ring over Z/p^n. Then we will turn to the investigation of K2-groups of integral group ring of elementary p-groups by using the structures of K2-groups of finite abelian rings and rings of integers in cyclotomic fields. For a finite abelian group algebra over a finite field, we want to study its NK-groups which would be useful for the research of NK-groups of finite abelian integral group rings.

对有限交换p群G，拟首先解决G在特征为p的有限域上群代数的商环的二阶K群以及G在整群环Z的模素数方幂的剩余类环上的群环的二阶K群的确切结构。然后过渡到一般的有限交换环的二阶K群的结构的研究。利用有限交换环的二阶K群的结构以及分圆整数环的二阶K群的结构确定初等p群的整群环的二阶K群的结构。对于有限域上有限交换群代数，研究其NK群，并用于有限交换整群环的NK群的研究。

给出了有限域上的有限交换群的群代数的K2群的一组基底，极大的简化了文献中的已有结果。.证明了6阶循环群的整群环的K2群是秩为3的初等2-群。证明了7阶循环群的整群环的K2群是秩为2的初等2-群。.显式构造了若干族不同亏格代数曲线的整K2群中一些特殊的线性无关元素，其个数恰好为所研究曲线的亏格数。如果Beilinson猜想成立，这些元素生成代数曲线的整K2群的满秩子群。.对于两类亏格可以任意的曲线，证明了其二元多项式族的Mahler测度的俩类恒等式。第一类恒等式包含亏格任意的双有理等价曲线的多项式族，此类多项式族在双有理等价后展现出令人惊讶的对称性。第二类恒等式给出多项式族与其平移的Mahler测度之间的关系。