有限群的整群环、Burnside环以及复表示环的增广商群

The problem of determines augmentation quotients for integral group rings of finite abelian groups is a classical problem in group ring theory. There are two relative problem: augmentation rquotients for Burnside ring and complex representation rings of finite groups. First of all, we want to give a basis or generators of augmentation ideals (and its powers) for Burnside rings of Dihedral groups，which help us determine Ulm invarints of their augmentation quotients. Secondly, we will try to obtain generators and relations of powers of augmentation ideals for complex representation rings of m-th symmetric group and alternative group. Then we can find orders and index of their augmentation quotients. Finally, we want to give some recursive formulas for Ulm invraints of augmenation quotients for integral group ring of finite abelian groups. Then we can compute them by computer programming.

整群环的增广商群问题是群环理论中的经典问题，与之紧密相关的两个问题是Burnside环和复表示环的增广商群问题，本课题拟从以下三方面进行研究：首先，确定二面体群的Burnside环的增广理想的幂作为自由交换群的基底或生成元，给出对应增广商群的结构参数。其次，利用对称群和交错群的表示信息，确定它们的增广理想的幂的生成元以及关系，进而对相应的增广商群的指数和阶做出估计。最后，考虑限交换群的整群环的增广商群的Ulm不变量之间的递推关系，对有限交换齐次p-群情形给出一个计数公式，使得其Ulm不变量可以（利用计算机）计算出来。

本课题在以下四个问题上做了初步探讨并得到了初步的结果. 首先, 从循环群的结构出发, 给出了有限循环群的实表示环的乘法规则, 进而得到增广理想的幂的基底, 并由此给出了其增广商群的结构, 于是可以和复表示环的相关结果做出比较. 其次, 给出了第一类点群的复表示环的增广理想的各阶幂的基底, 从而得到了相应的增广商群的结构, 由于第一类点群和低阶对称群, 交错群部分重合, 因此同时也给出了低阶对称群和交错群的增广理想和增广商群的结构. 再次, 给出了广义四元数群的复表示环的增广理想的各阶幂的基底, 进而计算出其增广商群的结构. 最后, 对两类性质较好的非交换2-群, 讨论了它们的Burnside环的增广理想的幂的基底, 并初步估计了其增广商群的结构.