强弱型函数空间上的复合算子和等距表示理论研究

This project will study the theory of composition operators and representations of isometries on some strong and weak type function spaces. Our purpose is to exploit some new methods and tools, which are effective for some kinds of strong and weak type function spaces, by employing potential analysis, extreme point argument, Jordan algebra and dual space with some techniques of atomic decomposition, interpolation, semi-inner product and differentiable norm. We will focus on attacking the intrinsic properties of various strong and weak type function spaces and use them to give some characterizations of composition operators and structure forms of isometries, which reveal the essential differences of the function spaces involved. This project is an extension and expansion of the corresponding theory on classical function spaces. We will not only use real and complex methods to investigate some related problems in functional spaces and operator theory, but also solve some important problems in harmonic analysis in terms of knowledge from functional spaces and operator theory. Currently, there are lots of open problems in this field to be solved, which have important theoretical significance and wide application value in the invariant subspace problem, rearrangement invariant function spaces, Banach space geometry and ergodic theory and other related branches of mathematics. This research will make the classical theory more perfect, but also enrich and promote the feedback on function spaces from functional analysis.

本项目着重研究几类强弱型函数空间上的复合算子和等距表示理论。目的在于运用位势理论、端点理论、对偶理论、Jordan代数理论和原子分解、半内积、可微范数及内插等技巧开辟一些适用于强弱型函数空间的新方法与新工具，进而研究强弱型函数空间的本性属性及其上复合算子的分析特征和等距算子的结构特征,揭示强弱型函数空间的本质差异性。它们是经典函数空间上相关理论的延伸和扩展。该项目属于算子理论与函数空间理论方面的交叉前沿课题。我们将交叉应用函数论中的实方法和复方法探讨泛函空间与算子理论中的一些重要问题，同时也以泛函空间与算子理论为工具研究调和分析中的热门问题。目前该领域中许多有待解决的问题在诸如不变子空间问题、重排不变函数空间、Banach空间几何和遍历理论等相关数学分支中具有重要理论意义和广泛应用价值。本项目的研究必将使经典理论更臻完善，同时也将丰富和推动泛函分析基本理论对函数空间理论的实质反馈。

本项目主要研究了高维全纯函数空间、Dirichlet级数函数空间、弱Orlicz函数空间、向量值函数空间等几类强弱型函数空间上的复合算子与等距理论. 特别是系统研究了复合算子的紧差问题，该问题起源于国际著名分析学专家Shapiro和Sundberg1990年在研究复合算子的拓扑结构时提出的如下猜想：两个复合算子在一个范数连通分支中当且仅当他们的差是一个紧算子. 此后复合算子的紧差问题受到了广泛关注，国际上出现了一大批专家研究复合算子的紧差问题，由于没有统一的工具，各种研究五花八门，我们在这一问题上开采了Joint-Carleson测度这一新型工具，取得了一系列深刻结果，部分相关结果发表在J. Funct. Anal.、Math. Z.、J. Math. Anal. Appl等杂志上，拓展了经典结果，统一了目前已有的结果，特别是证明了高维情形下紧差的指标依赖性、线性分式及三个符号的刚性问题、双差的全局抵消性与局部的不抵消性等刚性性质. 最近我们完全解决了任意符号的线性组合的紧性的Carleson测度特征刻画与消失特征刻画. 我们也系统研究了与Riemann猜想紧密相关的Dirichlet级数上的复合算子与等距算子，用代数数论的方法解决了Dirichlet级数空间上的复合算子的不变子空间问题，揭示了诱导符号的c_0系数的重要作用：c_0大于1时，不存在有限维的非平凡不变子空间，而对c_0小于等于1时完全刻画了2维不变子空间，对无理符号则刻画了复合算子族的代数性与自反性，证明了非平凡代数复合算子的不存在性，推广了Mahvidi的结果到Dirichlet级数的情形，相关结果发表在Arch. Math.、Ann. Funct. Anal上，有关Dirichlet级数上复合算子的其他一些诸如Fredholm性, Hilbert-Schmidt性、谱、循环性、超循环性及范数计算问题等性质也被研究，相关结果发表在Complex Var. Elliptic Equ上. 复对称由于在刚体运动(等距)的几何研究中起着重要的作用而日益受到关注，我们也研究了一般解析函数空间上的复合算子的复对称性，完全刻画了复对称复合算子的等距性、紧性、正规性、Hilbert-Schmidt性. 特别地，构造了非正规的复对称的复合算子，回答了Noor的一个开问题，相关结果发表在Inter. J. Math上.