张量重正化群数值方法与Clock-q模型:从离散到连续自由度的研究

Phase transition and universality behind are closely related to the interaction and degree of freedom. Clock-q model is a bridge interpolating the minimum phase transition model and XY system with continuous symmetry. By the tensor renormalization group algorithm, we investigate the phase structure from the discrete Z_q to continuous U(1) symmetry. And settle down the critical value q_c, above which the upper transition is of BKT type like XY scenario. Meanwhile, we plan to provide conclusive results about the lower phase transition in the case of q>4. We will investigate the crossover from Landau paradigm to beyond Landau paradigm. This project aims to provide complete and clear phase diagram, which will enrich the insight for phase and phase transition.

相变和相变背后的普适性与系统的相互作用形式和自由度密切相关。Clock-q模型是一个贯穿最小相变模型的Ising体系和连续自由度模型XY体系的桥梁。本项目将针对此模型，利用张量重正化群算法研究系统从离散的Z_q对称性到连续对称性U(1)时相结构的变化。针对存有争议的临界q_c值问题展开系统性的研究，即当q不小于q_c时，高温相变点T_2处的相变为BKT型。同时，对q>4时，低温处的相变类型给出确定性的判据。探讨q值变化时系统的相变如何从对称性破缺的朗道范式转入不破缺对称性的拓扑型激发，考察普适性背后是否对应U(1)涌现的拓扑激发。本项目力图梳理出完整清晰的相图结构，这将丰富对相和相变和认识和理解。

项目对clock模型的临界性质提供了清晰明确的物理图像以及令人信服的数值运算结果和物理分析。科学意义是结合场论分析和精准的数值计算澄清了相变机制，讨论了其普适性。我们首次计算了q=5,6,7,8四种情形下的luttinger参数K，建立了场论和格点模型之间的有效映射。对中心荷c的计算也吻合有效场论模型的预期值。由此，完全确定相变的普适类。另外，我们研究了J_1-J_2的阻挫情形：q=2 时，我们关注 J_1<0,J_2>0 的情况，其中包含富于争议的弱一阶相变可能性。我们通过iTEBD方案得到了完整的相图。HOTRG提炼的普适性参数和克莱因瓶熵方法建议了如下的物理图像：当g(=|J_2/J_1|)变小至 g∗，g∗ ≈ 0.54时，J_1-J_2 Ising 模型从两个脱耦的Ising模型(c = 1，h_1=0.125) 连续演化到由TCI普适类(c = 0.7，h_1= 0.075)描述的一个点。至少在g ≳ 0.54的范围内，相变是连续的。g≃0.54对应着TCI型的普适类。q=3时，我们讨论了J_1>,0 J_2<0的情况，这样在低温下邻近格点取值呈现不一样，有一半的格点被一个自由度占据（对角线，形成部分序）的大背景。通过几个具体的模型参数（固定J_1=1，变化J_2），我们发现了比热的双峰结构，这一结构并不随着|J_2|的增大而消失。同时，纠缠熵也会在两个温度出现奇异性（对应的温度值用数值虚线标示在下图 C_v-T 中），这两个温度与比热峰值对应的两个温度并不匹配，低温点出现的先后顺序（比较比热和纠缠熵）会在|J_2 |=2时发生交换，我们相信两个BKT相变这一特点会随着|J_2 |的变化发生改变，会有一个临界|J_2|值，在此之上纠缠熵的低温奇异点将不再对应BKT相变。在研究相变的问题时，我们同步发展了三维张量网络的有效处理方法，通过对演化波函数张量表达的特殊设计，极大地简化了对应norm张量网络的计算复杂度。将在三维经典模型和二维量子模型中有充分的应用前景。