张量网络重正化群算法对自旋系统的量子相变研究

The tensor-network renormalization group algorithm is the extension to two (or three) dimensional systems of the density matrix renormalization group(DMRG) method，which has been successfully applied to one dimensional quantum systems. With the research deepening, the matrix product state is realized to be the mathematical foundation for DMRG. In higher dimensions, as the counterpart, the tensor product states are gradually understood. On the other hand, the research about quantum phase transitions(QPT) lies at the heart of condensed matter. The spin component, different interactions and spatial dimensions, involved in the spin models, greatly enrich the ground state phase diagrams. As a result, the quantum spin models become extremely important research objects for the study of quantum phase transitions. Exploiting the advantages of the tensor network renormalization group algorithms in the numerical simulation for high dimensional strongly correlated quantum systems, we aim to investigate the quantum phase transitions of the spin models. Aside from the conventional perspective to calculate the local order parameters and the correlation fuctions, we will follow a novel thinking line from the fidelity and entanglement entropy in terms of the language of quantum information science for further research. Furthermore, we will delve into the tensor product state representation of the ground states and the fixed points in the tensor structure to deepen the understanding for quantum phase transitions in the context of the tensor network renormalization group algorithms.

张量网络重正化群算法是密度矩阵重正化群(DMRG)方法向高维系统的延伸和发展。随着研究的深入，矩阵乘积态作为DMRG算法的数学基础被揭示。在高维情形下与之对应的张量乘积态也随之得以认识。另一方面，量子相变一直是凝聚态物理关注的核心。量子自旋模型所涉及的自旋分量、不同相互作用项以及空间维度这些因素使得系统的基态相图非常丰富，因此成为量子相变问题极为重要的研究对象。 本项目将利用张量网络重正化群算法在高维强关联量子系统数值模拟时所表现出的优越性，对自旋模型的量子相变展开深入研究。除了从传统的描述量子相变的角度计算其局域序参量和关联函数之外，还将结合量子信息科学语言的保真度和量子纠缠这一新颖角度讨论量子相变，并对基态波函数的张量乘积态形式和张量结构的不动点进行深入的分析，以深化对张量网络重正化群算法处理量子相变问题的特性的理解。

张量网络重正化群算法是一种研究多体系统具有局域相互作用的格点模型的有效方法。对于经典统计模型，可以表示为张量网络模型，其配分函数即对张量网络的收缩求和。本项目展开了两个课题的调查。其一是二维经典具有连续自由度的O(2)模型，其配分函数可利用张量网络模型进行表示，这种做法碰到的一个困难就是初始张量的设定，因为每个经典自旋有无穷个指向，即无穷多个自由度，幸运的是，配分函数可以展开成修正的贝塞尔函数的求和形式，而不同阶的贝塞尔函数迅速衰减，这样对贝塞尔的阶数截断可以完成张量网络模型的表示。而贝塞尔函数的阶指标$n$，也是与模型中余弦函数中引入的化学势对应的共轭变量。此模型在一定的参数范围内与一维Bose-Hubbard模型具有同样的相图。我们发现：在大的超流-绝缘体的相变图像下（PRA，90,063603 (2014)），一个用固定$n$标识的绝缘体相的纠缠熵出现了精细结构。其物理描述是一个与横向格点尺寸相关的费米子占据图像，占据数受到化学势的调制（PRE，93,012138 （2016））。其二是我们对一般的自旋-S的二维经典Blume-Capel模型的研究，研究的启发点是来自于顾正澄和文小刚在文章PRB 80, 155131 (2009)中关于不动点的讨论，在相变的两侧系统的配分函数将流向不同的不动点。张量的谱结构包含对相变前后不同物性的表达。为了考察对称性，我们选了模型中一个最为特殊的情形：$D=2J$。这样其离散的对称性是$2S+1$。我们发现：对于低温有序相，$S$为偶数时，系统在随温度变化过程中清楚地展现了不同自旋分量对$\pm s$的$Z_2$对称性；而对于半奇数情形的$S$，除了不同分量对的$Z_2$自由度，还有朗道对称性破缺机制下所描述的相变。由顾-文二人提出的一个相变可视化参量$X_1$在逐次相变过程中会以$2$为台阶逐级跳变，对应一阶相变，而对于半奇数的情形，最后一个相变的变化台阶为$1$，对应连续性相变（J. Phys. Soc. Jpn. 85, 104602(2016)）。