一类带增长项的趋化模型的数学理论研究

This projection is devoted to study the mathematical theories of chemotaxis model with growth source in biology. We major consider the following questions： Based on the known results, we first consider the global existence and boundedness of the chemotaxis model with growth source; The second one is the effect of growth terms on blow-up for the model, in particular, we will give the explicit conditions on blow-up for the system and the estimates of blow up time; The third one is the existence of steady problem to the chemotaxis model with growth source and the convergence rate.

本项目拟对生物学中一类带增长项的趋化模型进行数学理论研究。主要考虑以下问题：一是在已有的工作基础上进一步考虑带增长项趋化模型整体解的存在性和有界性；二是考虑增长项影响下趋化模型解发生爆破的问题，特别是要给出爆破时参数所满足的具体条件，同时考虑爆破时间的估计；三是考虑带增长项的趋化模型平衡态解的存在性以及收敛到平衡态解的速率。

本项目所研究的趋化现象是生物学中一种非常常见的现象，所谓趋化性是指微生物或者细胞在所生存的环境由于受到化学物质的刺激而做定向运动，是生物根据环境变化做出的趋利避害运动。这种生物的重要特性，是生物为了生存而具备的一种本能反应或者后天形成的，例如，细胞模式形成、肿瘤浸润，胚胎的形成、伤口的愈合、血管的再生等。本项目旨在研究增长项对趋化模型的影响，主要研究问题如下：一是对于带有增长项且信号物质被消耗的多种群趋化模型，得到了如果趋化敏感度函数为常数，信号物质的初始浓度小于某个值时，模型存在整体有界解；如果趋化敏感度函数为光滑函数，得到了类似的结果； 此外，还得到了模型解的大时间行为以及收敛到平衡态解的速率；二是对于带有增长项的两个物种两种信号物质全抛物趋化模型，得到了如果维数不超过3维，增长系数比较大的时候，模型存在整体有界解；如果维数为2维，对任何正的增长系数，模型存在整体有界解； 此外，还得到了模型解的渐近行为以及收敛到平衡态解的速率；对于带有两种信号物质两个种群抛物-椭圆型趋化模型，利用构造上下解的方法以及耦合的方程组的比较原理给出了模型存在整体有界解的精确条件；此外，利用构造能量泛函的方法，得到了模型解的渐近行为以及收敛速率；三是研究了带有增长项的抛物-抛物-椭圆趋化模型，利用构造上下解的方法给出了增长系数与趋化敏感度函数的精确关系，从而使得模型存在整体有界解；利用耦合的方程组的比较原理给出了如果增长系数小于某个值时，模型存在整体有界解的精确条件；四是研究了非线性扩散对趋化模型解的影响，给出了增长项的指数，趋化敏感度指数以及非线性扩散的指数间的精确关系，从而使得模型存在整体有界解；五是对于趋化-趋触模型，我们给出了扩散指数和增长项的系数的精确关系使得模型存在整体有界解。