生物数学中趋化模型解的爆破和渐近行为分析

This projection is devoted to studying blow-up and asymptotic behavior solutions to some chemotaxis models in biology. We major consider the following four questions. First, we consider the optimal condition which makes sure the solutions to the quasilinear chemotaxis model with logistic source are globally bounded; Second, under the effect of growth terms we investigate some blow-up properties for chemotaxis model, including the explicit conditions guaranteeing blow up, blow-up rate, blow-up set, the upper or lower estimates for blow-up time; Next, we consider the global boundedness, large time behavior and blow up of solutions to the parabolic-parabolic-ODE chemotaxis-haptotaxis system with matrix remodelling; At last, we investigate the large time behavior of solution emanating from large initial data to a coupled attractive and repulsive attraction-repulsion chemotaxis system and consider the blow-up conditions when the attraction dominates.

本项目拟研究生物学中几类趋化模型解的爆破和渐近行为等适定性问题。主要考虑以下四个问题：一是考虑使得带logistic源的拟线性趋化模型解整体存在的最优条件；二是在logistic源影响下考虑趋化模型的解发生爆破的问题，包括爆破发生的具体指标，爆破速率，爆破点集，爆破时间上下界估计；三是研究带有基质重建的抛物-抛物-ODE趋化-趋触模型解的有界性、渐近行为以及爆破行为；四是研究具有吸引项和排斥项的吸引-排斥模型解的大初值渐近行为和在吸引占优情形下发生爆破的条件。

本课题主要对几类生物数学中的趋化模型和流体力学中的水波模型的全局有界性、爆破、大时间行为等适定性问题进行了研究，其主要内容包括以下几个方面：. 一是研究关于趋化-流体模型解的性质。分别研究了吸引-排斥趋化-流体模型和带有Lotka–Volterra竞争的两个种群和两种信号物质的趋化-流体模型的解的全局有界性和长时间行为。另外还研究了一类带有非线性扩散的趋化-Stokes模型解的全局弱解的存在性，并得到了一致有界性结果。. 二是研究关于肿瘤入侵和艾滋病毒相关的趋化模型。利用能量的方法对肿瘤入侵的趋化模型的全局存在和一致有界性进行了研究，且还研究了带有填充效应的HIV-1的细胞毒T淋巴细胞（CTLs）细胞对抗病毒感染的防御机制的约束条件下的趋化模型的渐近性和稳定性。. 三是研究带有非线性扩散和非线性敏感的趋化模型。一方面分别对一类带有奇异敏感的趋化-增长模型和带有非直接信号生产的拟线性趋化模型解的整体解的大时间行为进行了深入细致的研究，并且还研究了带有Logistic源的拟线性趋化模型在高维情形下解的爆破性质。另一方面分别研究了一类具有奇异敏感性的多物种趋化-消耗模型和带有密度抑制性的多物种趋化-消耗型模型解的全局有界性、大时间行为，以及解的收敛速率。. 四是研究吸引-排斥趋化和带环的趋化模型。 一方面利用先验估计和能量泛函技巧，证明了一类排斥趋化模型在高维情形排斥占优的条件下全局解的稳定性，并且还考虑一类抛物-抛物-椭圆吸引-排斥趋化模型在三维情形排斥占优的条件下的全局弱解的存在性。另一方面对一类带环的趋化竞争模型解的整体存在性、有界性和大时间行为进行了系统的研究。. 五是研究广义的Camassa-Holm方程解的性质。一 方面分别研究了带有rotation项的Camassa-Holm方程和广义的Camassa-Holm方程能量守恒弱解的整体存在性和唯一性结果。另一方面从不可压、无粘、常密度、无表面张力、带旋度的二维欧拉方程中推 导出赤道附近地球水波在弱科氏力和赤道潜流影响下的拟线性非局域浅水波模型。另外还分别建立了双分量分数阶和双分量高次非线性Camassa-Holm方程解关于初值映射的非一致连续性。