微分分次几何中的同调和Batalin-Vilkovisky量子化

Inspired by the development of supersymmetry in theoretical physics, the born of differential graded geometry does not only extend research of geometry but also implies new methods in other fields of Mathematics. Based on my work on the Atiyah and Todd classes in differential graded geometry, we plan several new projects: On the one hand, we study Hochschild cohomology of integrable distributions and their deformation quantization in the field of differential graded geometry; On the other hand, we study Batalin-Vilkovisky quantization of 1-dimensional Chern-Simons models associated to Lie algebroid pairs, and prove the Caldararu conjecture for Lie algebroid pairs.

近年来随着超对称理论物理的发展而诞生的微分分次几何不仅拓展了几何学的研究范围，而且给出了数学其他方向新的研究方法。本项目旨在申请者关于微分分次几何Atiyah和Todd同调类的工作基础上，继续几项新的研究：一方面，我们在微分分次几何的框架下研究可积分布的Hochschild上同调以及它的形变量子化；另一方面，我们研究Lie代数胚对的1维Chern-Simons模型的Batalin-Vilkovisky量子化，并证明Lie代数胚对版本的Caldararu猜想。

微分分次几何以及导出微分几何是受超对称量子物理的启发，将同调代数和代数几何研究方法应用到微分几何的重要创新。该青年项目完成了与微分分次几何中的同调密切相关四项内容：首先是可积分布对应的微分分次流形的Hochschild上同调和对应的形变量子化的关系，其次是正则Lie代数胚对应的微分分次流形的Atiyah和Todd同调类，再次是半严格Lie 2代数的表示范畴和它们的上同调的计算，最后是通过引入正则Courant代数胚的极小模型这一微分分次流形给出了计算正则Courant代数胚的标准上同调的谱序列方法。这些研究内容涵盖了微分几何，Lie理论，Poisson几何, 以及相关的数学物理等领域。我们得到了一系列丰富而重要的成果，解决或回答了这些方向的一些重要问题，相关论文发表在国际一流的学术期刊。