微分分次范畴的模型结构、recollements 和同伦范畴的紧性

The main object of this project is to study model structures、recollements and the compact property of homotopy categories of differential graded categories. Through investigating properties of cotorsion pairs in differential graded categories, we will make an attempt to construct more and more important model structures in differential graded categories, explore a general method to construct model structures and new cotorsion pairs via known cotorsion pairs, and establish recollements of differential graded categories by using model structure theory. We will try to study the compact property of homotopy categories of differential graded categories and seek some recollements associated to compactly generated homotopy categories of differential graded categories by means of blazing a new trail. We will consider the compactly generated property of the homotopy subcategory K(X∩Y) and adjoint pairs related to K(X∩Y) with respect to a cotorsion pair (X,Y) in a differential graded category, and then create various recollements of homotopy (sub)categories of differential graded categories. The study of this project will play an important role in enriching and developing model structure theory、recollement theory and compactly generated theory of homotopy categories of differential graded categories.

本项目主要研究微分分次范畴的模型结构、recollements和同伦范畴的紧性。将通过对微分分次范畴的余挠对性质的研究，试图在微分分次范畴中建立更多、更重要的模型结构；探求通过已知余挠对构造模型结构和新余挠对的一般方法；利用模型结构理论建立微分分次范畴的recollements。试图另辟蹊径研究微分分次同伦范畴的紧性和寻求一些与紧生成微分分次同伦范畴有关的recollements。考虑相对于微分分次范畴中余挠对(X,Y)的同伦子范畴K(X∩Y)的紧生成性及与之有关的伴随对，进而建立微分分次同伦（子）范畴间的各种recollements。本项目的研究对于丰富和发展微分分次范畴的模型结构理论、recollement理论和同伦范畴的紧生成理论具有重要的意义。

对偶对与纯性、余挠对、覆盖及包络的存在性有着紧密的联系，这使得对偶对在相对同调代数中非常有用。因此，我们研究了相对于完备对偶对的Gorenstein投射模、内射模和平坦模的同调性质。通过这些模类我们建立了新的对偶对和很多模型结构，并且给出了一些预覆盖类、预包络类、覆盖类和包络类。我们将这些模类和Frobenius对结合起来，给出了一些环的刻画。三角范畴的粘合是由Beilinson、Bernstein和Deligne在几何背景下引入的，它在代数几何、同调代数和代数表示论中扮演着重要的角色。我们通过与这些模类相关的余挠对和同伦范畴建立了许多粘合，其中一些粘合与环的导出范畴有关。众所周知，环的导出范畴是典型且重要的紧生成三角范畴。我们研究了非正交换Noetherian微分分次环上的无界dg模相对于理想的深度与宽度，并给出了无界dg模的深度的一个约化公式。我们在特殊情形下给出了无界dg模的深度的几个界。为了丰富本项目的研究内容，我们还研究了阿贝尔范畴和E-三角范畴中的（特殊的）左（右）n-Frobenius对，它们分别与相应范畴中的右（左）n-余挠对有密切的联系。