微分分次同调新方法及其在有理同伦论中的应用

本项目拟建立和发展微分分次局部上同调理论，进一步完善微分分次模的不变量理论，对偶微分分次模理论以及微分分次代数的整体维数理论，并运用微分分次同调代数中的新方法研究有理同伦论中的若干问题。 具体地，我们将从事以下几个方面的研究：在微分分次代数上的微分分次模范畴上定义torsion函子，研究其右导出函子即微分分次局部上同调函子的性质，证明微分分次局部对偶定理等；用同调函子刻画微分分次模的锥长度，给出其一般的计算方法，探讨微分分次代数整体维数与微分分次模范畴的导出范畴的三角维数之间的关系；利用微分分次局部上同调理论研究Gorenstein 微分分次代数，Calabi-Yau微分分次代数以及道路连通拓扑空间的Sullivan代数模型的相关性质。

同调维数理论是同调代数中的核心内容，在微分分次层面上推广同调不变量理论能为交换局部环论和有理同伦论的发展提供新的代数工具。承担人将有理同伦论中有关拓扑空间的同伦不变量锥长度引入到微分分次模的不变量理论中，并发现了这一不变量的一些重要性质，开创性地发展了微分分次代数的整体维数理论。通过探讨微分分次模的锥长度与微分分次模的level，ghost length和triviality category等重要不变量之间的关系，丰富、发展了微分分次模的不变量理论。另外，承担人最近发明了连通微分分次代数上微分分次模的锥长度及微分分次代数整体维数的一些计算方法； 并且通过研究发现利用微分分次模的锥长度这一不变量以及微分分次代数的整体维数，可以刻画连通微分分次代数的同调光滑性质。建立和发展微分分次层面上局部上同调理论是承担人开展的第二项工作。承担人经过与国外专家讨论发现形式上的推广该理论没有多少理论意义, 需充分借鉴前人关于分次局部上同调理论和微分分次torsion函子的研究成果。相关的研究工作还在进行中。研究微分分次代数的Calabi-Yau性质是承担人开展的第三项研究子课题，在一定的条件下，承担人发现了微分分次代数的Calabi-Yau性质和其同调代数的Calabi-Yau性质之间的一些关系。