小波方法解不规则区域上微分方程的若干问题的研究

How to increase the accuracy and efficiency of the algorithms on partial differential equations defined on irregular domains,and realize the numerical simulation of the physical advection/diffusion phenomena are an important topic in the numerical analysis. This project aims to construct a wavelet method with the Lagrange multipliers for the boundary conditions. In the classical method of Lagrange interpolation, the convergence rate of position of the moving boundary is one order. We bring out a Petrov-Galerkin based wavelet/ smooth fictitious domain method to solve the elliptical and parabolic equations with various boundary conditions, raise a uniform variational formulation, prove the existence and uniqueness of continuous and discrete solutions. By the discretization of wavelet tensor product on the time and space, we get a parallel method. A new wavelet multigrid is designed by the periodic spline wavelets. We use the preconditioner and adaptivity of wavelets to decrease the error around the boundary and increase the convergence rate. The method above is applied to solve the heat equation on each phase in the Stefan problem. We use the level set method to capture the velocity and position of the moving boundary, spline function of changeable degree to approximate its shape, modelize the melting and solidification process.

如何提高不规则区域上微分方程算法的精度和效率，实现由于物理传导扩散过程引起的边界变化的数值模拟，是偏微分方程数值计算中的重要课题。本项目研究提出一种基于Lagrange算子处理边界条件的小波方法。在传统的Lagrange插值处理边界条件的方法中，移动边界位置的求解精度是1阶。我们提出一种基于Petrov-Galerkin法的小波/光滑虚拟域法求解带各种初边界条件的椭圆/抛物型方程，建立统一的变分格式，证明连续和离散解的存在唯一性。通过时间/空间的小波张量积离散实现并行计算，采用周期样条小波设计新的多重网格法提高计算效率，利用小波对大型系统的预条件处理和自适应近似的性质降低边界附近解的误差和提高算法收敛阶。上述算法用于求解移动边界Stefan问题中各相上的热方程。水平集法处理边界移动速度和位置，可变次数的样条函数近似移动边界形状，数值模拟融化/凝固现象。

如何提高不规则区域上微分方程算法的精度和效率是偏微分方程数值计算中的重要课题。本项目主要对比有限差分法和小波方法解不规则区域上的2维椭圆方程，构建基于样条小波函数快速算法上的多重网格法中新的插值算子和限制算子，研究采用不均匀网格上的多重网格法求解3维对流扩散方程和Navier-Stokes方程。数值结果显示与已知的最高4阶收敛速度的有限差分法比较，基于小波的多尺度法具有更高的8阶收敛速度和更小的误差，且对产生的线性方程组条件数预处理，采用不均匀网格的多重网格法可对具有边界层问题的计算减少V-循环次数和CPU计算时间。另一提高多重网格法计算效率的方法是提高收敛速度，采用Richardson外推法可从4阶提高到6阶。上述算法可用于求解移动边界Stefan问题中各相上的热方程。水平集法处理边界移动速度和位置，可变次数的样条函数近似移动边界形状，数值模拟融化/凝固现象。