点云上的高阶间断Galerkin方法

Solving partial differential equations (PDEs) on point clouds has attracted more and more attentions in a wide variety of applications such as data analysis and image processing. It is difficult to apply the classical mesh-based numerical methods directly. For meshless methods, most of them focus on the practical aspects of the algorithms without extensive analysis. In order to obtain some good theoretical properties, we develop a mesh generation algorithm based on point clouds and adapt the classical high order discontinuous Galerkin (DG) method on the constructed mesh. One of the goals is to develop the DG method for conservation laws on planer point clouds, and investigate some related techniques such as the weighted essentially non-oscillatory limiter and the entropy stability. Another goal of this project is to construct the DG method for moving point clouds. Our final goal is to extend our work to point clouds on surfaces and other kinds of PDEs. This project is expected to get a complete system of DG methods on point clouds, which will be an enrichment of the numerical methods on point clouds, and is also an innovative generation of the traditional DG methods.

点云上的偏微分方程求解问题在数据分析和图像处理等许多应用领域都吸引了越来越多的关注。该问题难以直接使用基于网格的经典方法进行求解。对于无网格方法，其大多侧重于算法的实际操作方面，而缺乏深入的理论分析。为了得到一些好的理论性质，本项目构造任意点云上的网格生成方法，并将经典的高精度间断Galerkin（discontinuous Galerkin，简称DG）方法推广到所生成的网格上。我们的目标之一是针对平面点云上的守恒律问题构造DG方法，并研究诸如加权本质无震荡限制器及熵稳定性等相关的技术。该项目的另一个目标是构造移动点云上的DG方法。最终目标是希望能将我们的工作推广到曲面上的点云以及其它偏微分方程上。本项目有望得到点云上的一套完整的DG方法体系，其将是对点云上数值方法的丰富，同时也是对传统DG的创新性推广。

本项目关注点云上的偏微分方程求解问题，其在数据分析和图像处理等许多应用领域都吸引了越来越多的关注。我们通过构造任意点云上的网格生成方法，将经典的高精度间断有限元（discontinuous Galerkin，简称DG）方法推广到所生成的网格上。本项目研究了点云上的守恒律问题，并构建了一种新的本质加权无震荡（weighted essentially non-oscillatory，简称WENO）限制器，其能在维持原有格式高精度的同时有效地控制数值震荡，且操作更简单。由于点云所生成网格具有高度非结构性，我们也研究了在复杂网格上的DG格式构造。通过引入交错参数，我们针对对流扩散方程设计了具有3阶保界性质的DG方法。同时我们设计了拼接网格上的DG方法用于求解弹性波问题。另外，我们研究了DG方法的高精度保界技术和移动网格技术，及在多组分流问题和Allen-Cahn方程上的应用。此外，我们尝试将平面点云上的工作推广到曲面点云上。本项目的研究结果以学术论文的形式呈现。目前，我们已经发表了6篇学术论文并投稿1篇。本项目的研究内容是对点云及复杂网格上偏微分方程数值方法的丰富。同时，我们的工作也是对传统DG方法的创新性推广。