超椭圆Riemann面上的Darboux和非线性方程族的代数几何解

非线性微分方程与代数几何交叉应用被认为是当今现代数学物理完美建立的范例，而构造非线性方程的代数几何解又是这一领域的焦点和热点问题。这种解成功地综合了微分方程、算子谱理论和代数几何方面的成果，因此，开展代数几何解研究无疑将促进这些学科的交叉和发展，特别是对可积系统理论发展具有重要意义。.本项目属于前沿性的应用基础研究，将基于微分方程、谱分析和代数几何理论，发展构造非线性方程族代数几何解的理论、方法和应用，在以下三个方面形成突破，做出我们自己有特色的高水平工作，为可积系统提供新的理论：1. 发展和改进多项式递推法，用于构造尚未解决的一大类方程族的代数几何解。2.基于零曲率方程、loop群和代数几何理论，发展一种构造代数几何解新的方法。3. 发展Darboux变换方法，用于研究超椭圆Riemann面上代数几何解，以及对超椭圆Riemann面的影响。

该项目执行期是2009年1月-2011年12月，主要研究几何、物理、材料科学、生命科学等所提出的非线性方程族的代数几何解（拟周期解）。课题组按照课题研究计划，在连续、离散和超对称方程的代数几何解、拟周期解、Bell多项式、Riemann-Hilbert问题等方面方面开展了深入细致的研究，取得了一批新的研究成果，在国际重要期刊上共发表SCI论文20余篇，所发表论文被他引2000余次。课题方向上培养博士研究生5名，硕士生1名。邀请包括美国、加拿大在内的15名专家访问复旦大学，从事合作研究。同时，出访从事合作研究或参加国内外学术会议10次。