具有随机输入偏微分方程的压缩传感配点有限元算法研究

具有随机输入的偏微分方程在不确定性问题研究领域具有重要的应用价值， 因此，对它的理论分析和数值计算近来受到广泛关注。 基于广义混沌多项式展开的随机伽辽金方法和稀疏网格随机配点法已被成功的应用于上述问题, 但由于实际问题中用来刻画随机输入的随机参数维数都非常高，现有算法存在"Curse of dimensionality "问题，因此，急待发展基于压缩传感思想的快速算法。 本项目拟借鉴已有的一维函数稀疏重构方法， 首先建立高维函数的稀疏重构算法， 通过研究传感矩阵的性质得到算法的稳定性分析；进而基于随机场的广义混沌多项式展开, 利用随机配置点上确定性偏微分方程的有限元解和l1-范数最小化算法， 最终建立具有随机参数的偏微分方程的压缩传感配点有限元方法，并对某些具体算法进行收敛性分析。 可望给具有随机参数特别是高维随机参数的偏微分方程提供若干快速、高效数值求解方法。

在本项目的资助下，获得了基于l1-范数最小化的高维随机配置方法，给出了当基底为Legendre多项式时高维稀疏多项式的重构算法，建立了依均匀分布抽样和Chenbyshev分布抽样的收敛性分析和数值模拟。该成果已被同行专家学者多次引用。利用该结果可以求解具有随机参数的偏微分方程，只需要在样本点上利用有限元方法求解相应的确定性问题，因为该算法需要的样本点数远远少于逼近空间多项式的维数，可以大大减少计算的复杂度，为复杂问题提供了快速算法。建立了具有随机参数的薄板弯曲问题的非协调有限元算法。获得了基于l1-范数最小化随机配法的求解反问题的贝叶斯推断方法。进一步讨论了结构随机样本抽样即随机选取一部分高斯求积节点作为样本点时的l1-范数最小化算法，并用它来重构不同的稀疏多项式，系列数值结果说明该方法十分有效。建立了带有导数信息的 legendre 稀疏多项式的重构算法，给出了算法的稳定性分析，现在正在对上述结果进行数值模拟研究工作，相关研究成果正在整理中。上述研究成果为具有随机参数的偏微分方程提供了快速算法，具有一定的应用价值。