随机偏微分方程快速高精度算法

The stochastic partial differential equations (spdes) are able to fully capture the behavior of interesting phenomena than the deterministic differential equations in many applications (e.g. finance, security and engineering). The difficulties for numerical approximating spdes are due to the weak regularity of the exact solution and the high dimensionality caused by the probability space. In this proposal we aim to construct novel numerical algorithm to approximate spdes. We will investigate the sparse grid spectral Galerkin method to construct fast and effective algorithm for solving the spdes with random coefficient. We convert the time-dependent spdes to forward-backward double stochastic differential equation by means of the Zakai equation, and then construct high order numerical algorithms in terms of two sided Ito-Taylor expansions. We also apply our method to numerically approximate the nonlinear filter problems

随机偏微分方程在许多领域（如金融、证劵、工程等）比确定性微分方程能够更准确、更深刻地反映内在的本质特征，在实际应用中具有重要意义。数值求解随机偏微分方程的主要困难是由精确解的弱正则性和概率空间的高维性引起的计算复杂性。本项目的主要目的是构造新的计算方法和数值分析工具来近似求解随机偏微分方程。我们将研究稀疏网格谱方法及其误差分析，构造快速、稳定的数值算法求解系数具随机性的偏微分方程。针对Zakai型随机微分方程，将其变换成正-倒向随机微分方程，采用广义双边Ito-Taylor展开公式构造高精度的求解正-倒向随机微分方程的数值算法，进而得到半线性随机微分方程的数值解，我们还将以此为基础研究求解非线性滤波问题的高精度数值算法。

本项目主要研究随机偏微分方程数值计算方法。随机模型比确定模型要复杂得多，其表现之一是随机偏微分方程的解不再是一个简单的函数，而是一个随机域或随机过程。因而，相比于确定性微分方程，随机微分方程能够更加细致的描述研究对象的变化规律。根据大数定律，我们需要做大量的反复试验才能获得随机变量的统计规律，因此，如果将现有的计算确定性偏微分方程的数值算法直接应用到SPDE，需要反复数值求解大量的确定性偏微分方程，这将导致非常巨大的计算时间和计算量，这是现有的计算条件所不能承受的。这也意味着我们需要构造新的计算方法和数值分析工具来近似求解随机偏微分方程，模拟计算其数值解并分析蕴涵于解中的信息。.通过本项目的研究，我们项目组成员、合作者以及参与研究工作的研究生等都在一定程度上取得了不同的收获。在学术研究方面，我们主要用弱Galerkin有限元法来研究随机偏微分方程的快速高精度数值方法，主要内容包括两部分：一是研究弱Galerkin有限元法本身的性质和应用情况，我们针对二阶和四节发展型偏微分方程、Stocks方程和Brinkman方程等具有应用背景的模型，研究了弱Galerkin有限元法的应用，取得了很好的效果，发表SCI检索论文5篇；二是将弱Galerkin有限元法应用于随机方程的数值计算，我们针对美式期权随机模型、随机四阶偏微分方程研究了弱Galerkin有限元法在其数值求解中的应用，发表SCI检索论文7篇。另外，我们在研究过程中还针对发展方程的动力行为进行了研究发表SCI检索论文1篇。同时我们还已经投稿4篇文章，其中两篇已经接收，两篇正在审稿阶段，我们取得的部分成果还在整理之中，还能够发表几篇论文。在人才培养方面，这期间我们共培养毕业了5名博士研究生，14名硕士研究生，目前正在学习的研究生包括博士研究生6人，硕士研究生15人。通过项目的资助，项目组成员和相关合作者及研究生多次参加了国内的学术会议，开阔的学术视野，提高了学术水平，推动了这一领域学术研究的进展。.