随机组合弹性结构问题的高效随机配置方法研究

In engineering applications, elastic structures exhibit uncertainties in material parameters, geometric nature and acted load, leading to unavoidable influence on structure deformation. Therefore, it is of great importance to quantify such uncertainties in structure analysis. For the problem, the traditional collocation methods are encountered with the difficulty of "curse of dimensionality", but the recently developed stochastic collocation methods via compressive sensing can overcome it effectively and has become a research hot point in stochastic computation. However, such studies are empty for elastic multi-structure problems and require to develop very urgently. Based on our early research achievements in finite element methods on deterministic elastic multi-structure problems and stochastic collocation methods via compressive sensing, adopting newly developed theory of sparse approximation in high dimensional space, we aim to design some nonconforming finite element methods with the stochastic affect treated by the efficient collocation methods via l1-minimization, including weighted l1-minimization and gradient-enhanced l1-minimization. The collocation points are determined by the random method or chosen as the Gaussian quadrature nodes, in order to get the sparse approximation of the system response with least sampling points and thereby increase computation efficiency. We will also establish rigorous theoretical analysis for the new methods. In summary, we hope to develop efficient computational methods for solving stochastic elastic multi-structure problems and bring important advance in stochastic computation for engineering applications.

实际工程应用中，弹性结构的材料特性，几何尺寸和外载荷的不确定性，对结构的设计会产生很大的影响，因此，如何量化并处理这些不确定性对准确预测弹性结构的形变起着至关重要的作用。传统随机配置方法会碰到“维数困境”，基于压缩感知的配置方法能很好地克服该困难，因此成为随机计算领域的研究热点。但是对于复杂随机结构问题，相关的压缩感知方法至今仍是空白、亟需发展。本项目拟基于项目申请人在确定性弹性结构问题以及基于压缩感知的有限元算法方面的研究成果，借鉴高维函数稀疏逼近的最新成果，建立随机结构基于l1-范数稀疏重构的非协调有限元方法。将研究加权l1-范数稀疏重构算法，并考虑基于梯度信息的稀疏重构算法，配置点的选取采用随机方法和基于高斯求积点的确定型方法，试图用最少的样本点获得系统响应的稀疏逼近，提高计算效率，进而获得求解具有随机参数的组合弹性结构问题的高效计算方法。可望为实际工程问题的随机计算带来重要成果。

针对具有随机输入偏微分方程提出了基于随机高斯积分点采样的压缩感知算法，并在一般框架下建立了算法的理论分析，包括有界域和无界域情形。数值实验结果说明了随机高斯抽样策略的高效性。进一步研究了数据驱动的不确定性量化方法，首先利用输入变量的统计矩信息构造正交多项式，然后设计了加权最小二乘离散投影算法以及压缩感知算法，给出了基于平衡态测度的最优样本选取策略，将其用于随机弹性薄板弯曲问题模拟，效果令人满意。上述研究方法在不确定性量化领域有重要应用，与求解确定性组合弹性结构问题的非协调有限元方法结合，可获得随机组合弹性结构的高效配置算法。.. 提出了同时含有函数信息和梯度信息的l1-范数最小化稀疏重构算法。通过巧妙设计预处理矩阵，使得预处理后的设计矩阵具有良好的性质，保证了重构算法的稳定性和有效性，并给出了设计矩阵的列相干性分析。数值实验表明了相对于只有函数信息的稀疏逼近，带有梯度信息的重构算法在保证好的稀疏逼近性质的同时能够大大减少计算量，从而为具有高维随机输入的偏微分方程求解提供一种快速求解方法。在基于非凸压缩感知的随机配置方法方面，也取得了有意义的研究成果。.. 将任意正交多项式逼近与深度神经网络结合，获得了求解随机偏微分方程的物理机制深度神经网络算法。同时量化了参数不确定性和神经网络不确定性，设计了一种主动学习算法，为实际大规模复杂随机问题提供了有效方案。.. 共计发表学术论文12篇，其中在应用数学顶尖杂志Siam Review发表论文1篇，在Siam Journal on Scientific Computing、Journal of Computational Physics等科学计算领域有重要影响的学术刊物正式发表论文10篇。基本完成项目拟定计划和目标。