带约束条件的整数分拆和mock模形式的算术性质

The theory of the arithmetic properties of restricted partitions and mock modular forms is one of the most active fields in contemporary q-series, combinatorics and number theory, which has numerous natural connections to many branches of mathematics, that is exactly the reason why many well-known combinatorialists, including Professor George E. Andrews who is the former President of the American Mathematical Society and the member of Academy of Sciences, are interested in it. This project focuses on utilizing the theories of quadratic residue, identities involving theta functions, modular forms, Ramanujan's modular equations and the generating function dissection technique, to investigate the arithmetic properties of restricted partitions and mock modular forms, including the following problems: (1) employing the theories of quadratic residue and some identities involving theta functions, we will study the the arithmetic properties of t-cores and t-regular partitions and establish infinite families of congruences for t-cores and t-regular partitions; (2) using the generating function dissection technique and the theory of modular forms, we are going to investigate the arithmetic properties of overpartitions and confirm some conjectures on overpartitions; (3) by means of the theories of modular forms, Ramanujan's modular equations and basic hypergeometric series, we will investigate the arithmetric properties of mock moduler forms, establish congruences for some Ramanujan's mock theta functions, and then generalize some results due to Ken Ono.

带约束条件的整数分拆和mock模形式的算术性质是当前q-级数、组合数学和数论的研究热点之一。该课题与多个数学分支有着重要的联系，吸引了包括美国数学会前会长、科学院院士Andrews在内的众多学者的研究兴趣。本项目旨在利用二次剩余理论、theta函数恒等式、模形式、Ramanujan模方程和生成函数的分块技术研究带约束条件的整数分拆和mock模形式的算术性质，主要包括：(1)利用二次剩余理论和theta函数恒等式，我们将研究t-cores和t-regular partitions的算术性质，建立无穷族同余关系；(2)利用生成函数的分块技术和模形式，我们将研究overpartitions的算术性质，解决相关猜想；(3)利用模形式，Ramanujan模方程和基本超几何级数，我们将研究mock模形式的算术性质，建立某些Ramanujan's mock theta函数的同余关系，推广Ono的结果。

带约束条件的整数分拆和mock模形式的算术性质是当前整数分拆理论的研究热点之一，该课题与组合数学、数论和q-级数等数学分支有着密切的联系。按照研究计划，我们主要研究了t-core、t-regular、overpartition、mock theta模形式等一系列分拆函数的算术性质，解决了多个猜想并建立了大量的无穷族同余关系和奇异型同余关系，在《J. Number Theory》、《Acta Arithm.》、《Ramanujan J.》、《Proc. Royal Soc. Edinb. Section A》等期刊上发表或接受发表论文17篇，全部发表在SCI刊源期刊上。主要的研究结果如下：..1、t-core、t-regular分拆函数的算术性质。 我们刻画了7-core和23-core模8的同余关系，建立了大量新的关于这两类分拆函数的无穷族同余关系，推广了Radu和Sellers教授的研究成果。我们利用theta函数恒等式研究了某些（s，t)-regular双分拆函数的算术性质，解决了Dou提出的3个猜想并刻画出了其它(s,t)-regular双分拆函数的同余性质，建立了多个无穷族同余关系。此外，我们还刻画了9-core，11-，13-和17-regular等分拆函数的奇偶性。 ..2、Overpartition分拆函数的算术性质。我们研究了overpartition分拆函数模9，27，64，1024的无穷族同余关系,相关的成果推广了Cui等人的研究结论，也要强于Hirschhorn教授发现的同余关系。我们还利用theta函数恒等式和二次剩余理论建立了多个关于singular overpartition分拆函数模16,32和64的同余关系，推广了Chen、Hirschhorn和Sellers的研究成果。..3、mock theta模形式及相关分拆函数的算术性质。我们研究了Apell-Lerch的算术性质，不但证明了Chan提出的猜想，而且得到更一般的结果。我们利用theta函数的（p,k）-参数表示，证明了Sun提出的多个猜想。利用Newman理论研究了broken k-diamond分拆函数的算术性质，建立奇异型同余关系。我们还研究了由mock theta函数诱导出的分拆函数的算术性质，推广了Andrews教授等人的结论。