分形集上Diophantine逼近的若干问题研究

对具有特殊结构点集的丢番图逼近研究一直是数论研究的焦点，而分形集由于其生成方式的简洁性及系统本身一定的复杂性使之成为研究具有特殊结构点集的一类重要对象。.本项目研究分形集上丢番图逼近的度量性质和分形结构：(1)、研究具体分形集上满足一定丢番图逼近性质点集的分形维数及量纲函数，其中研究的分形集包括有限和无穷生成的自相似集、连分数变换、Lüroth变换等具有无穷多个迭代分支的动力系统生成的吸引子、支撑着"Friendly"测度的分形集；(2)、研究关于支撑在分形集上的测度的Khintchine-Groshev "0-1"律；(3)、研究非紧空间上关于一般Borel测度的质量转移原理。.建立起确定分形集上关于上限集的度量性质及分形维数的理论，发展维数理论中Moran型集合的构造和质量分布原理的应用等方法和技巧。同时学科之间的交叉也将为双方学科的研究提供新的研究工具、方法和技巧。

丢番图逼近是数论研究的重要内容，而连分数等系统在刻画数的丢番图性质等方面起着本质的决定作用。因而本项目以数的丢番图逼近为问题的出发点，以连分数等数的表示理论为工具，来刻画具有特定丢番图属性的集合的分形尺度。同时在由有限个迭代函数生成的系统中，beta展式不具有Markov性，这成为研究beta展式中度量理论的主要阻碍，于是在本项目中，我们也着重的研究了由beta展式诱导的满足一定丢番图性质的集合的度量理论。本项目的研究成果主要集中在如下三个方面：.　　(I) 在连分数系统中，研究了部分商的和以任意速度趋于无穷的集合的分形维数，其实质问题是两个分形集的交集；研究了形式级数域上，限制在特定分形集上，部分商满足一定增长速度的集合的分形维数，回答了Hirst在上世纪70年代的一个开问题在形式级数域下的情形；研究了在连分数变换下点的轨道无穷多次的落入给定柱集的集合的分形维数，全面解决了Fernandez, Melian, Pastana等未解决的问题；研究了用给定连分数的收敛因子来逼近其他点的问题，说明了部分商越大，满足Littlewood猜想的点对就越多。.　　(II) 在beta展式中，完全刻画了基本柱集的长度；研究了在beta变换下点的轨道无穷多次返回自身、无穷多次击中某给定点的邻域等问题，发现了所谓的动力系统中的维数转移原理，并证明了beta展式中压力泛函的某种连续性；考虑了beta展式中关于遍历平均的重分形分析，发现在对beta展式的重分形研究中，都可以将相应的问题转移到其子系统相应问题的研究中。.　　(III) 维数转移原理：质量转移原理是确定丢番图逼近中上极限集的分形维数的有力工具，在对beta展式的研究中我们发现了类似的所谓的维数转移原理，于是探讨了连分数系统、无穷迭代函数系等系统中的维数转移原理，从而为确定一类系统中上极限集的维数理论提供了有力的工具。.　　除上述三个方面以外，我们还研究了其他由无穷迭代函数系生成的如Luroth系统，以及由无理旋转生成的Sturmian序列等相关问题。