线性算子数值域的几何特征

The numerical range of operators is a basic and important issue in the operator theory. In recent years, it has been found new applications in the field of quantum computing, so many experts pay attentions to it once again. This project focuses on the geometrical structure of the numerical range by means of operator block technique and fine analysis of spectral characteristics and researches the following questions about the numerical range: (1) Discuss some open problem about the numerical range, to give the answers or useful conclusions of two open problem. (2) Study the geometrical structure of operators numerical ranges, by the classification of the operator, the characteristics of various types of operators and means of the function calculus and the properties of the corner points, the boundary points and interior points and extend some conclusions of the finite-dimensional to infinite-dimensional space. (3) Explore the problems of numerical range from other areas, use the research results to these problems and find new way for numerical range from such applications.

算子数值域的研究是算子理论中一个基本而重要的课题，近年来，它在量子计算等领域中的一些新应用的发现，又再次引起了多个领域专家的注意。本项目着眼于数值域的几何结构，借助于算子分块技巧，通过算子谱特征的精细分析，研究有关算子数值域的如下问题：(1) 讨论关于数值域的一些公开问题，拟给出两个公开问题的完全解答或有益结论。(2) 通过对算子进行分类，根据各类算子的特点，借助函数演算，谱分析等工具研究各种算子数值域的几何特征, 包括算子数值域的角点、边界点、内点的性质，以及有限维成立的一些结论在无限维空间中的讨论。(3) 探讨其它领域中出现的有关算子数值域的问题，尝试将研究结果应用到这些问题中，并从这类应用中发现算子数值域研究的新途径。

本项目历时3年，共发表科研论文12篇，其中6篇发表在SCI期刊，4篇发表在国内核心期刊，研究内容包括算子数值域、算子方程，以及量子计算中的若干问题。主要研究成果分为四个方面：1. 应用算子论方法研究了量子计算中的若干数学问题。去掉了对算子自伴的限制，建立了Hilbert空间上一般算子对的Heisenberg测不准关系和薛定谔测不准关系；给出了Wigner-Yanase-Dyson斜信息在非自伴算子上的一个推广及其相关性质。2. 关于多体量子关联的度量及量子关联的动力学性质的研究。给出了一族混合态可以由同一个量子克隆机同时克隆的充分必要条件；分别得到了保持经典关联态、破坏量子关联态以及强保持经典关联态的局部量子信道的结构；引入了两体系统中量子关联鲁棒性的定义，并探究了其相关性质和几何解释，给出了任意两体态的量子关联鲁棒性的计算方法。3. 关于算子方程的研究。利用算子理论和构造迭代序列的方法给出了算子方程Xs-A*X-tA=Q有正算子解的若干必要条件和充分条件；建立了无限维Hilbert空间中一类非线性算子方程正算子解存在的一个充要条件；给出了算子方程Xs+A*X-tA=Q的正算子解存在的一些必要条件和充分条件。4. 关于其他算子理论的研究。证明了定义在稠定算子集上的函数f(A)=det(I-A)的凹性；给出了Hilbert空间上算子数值域内点的若干性质；证明了一个可分Hilbert空间H中的所有Bessel列，所有框架，所有Riesz基在所定义的两类乘法和对合下分别构成了有单位元的C*代数，有单位元的乘法半群，自伴乘法群；给出了Drazin可逆算子在微小范数扰动下Drazin可逆的充要条件和在有限秩扰动下Drazin可逆的若干充分条件。