带磁薛定谔算子的非线性方程零点集的定量研究及其应用

Our project is mainly on quantitative estimates of the nodal set of the solution to the nonlinear (time-dependent) system with magnetic Schrodinger operator in 3-dimensions, we will mainly concentrate on the quantitative estimates of doubling condition, Carleman estimates, the dependence between nodal sets and applied magnetic field, and the long time asymptotics of nodal sets. In mathematics, there are many basic and unsolved problems. In the view of physics,vortex sets can be indicated by the nodal set of the equations. To have a deep knowledge of the mathematical theory of vortices sets in superconductivity, we will mainly work on the following three sub-projects: 1. the geometric properties of nodal sets under the assumption of “quasi-conformal”. We are searching some more “natural” condition, which is equivalent to the “quasi-conformal”condition, to prove that the Hausdorff measure of the nodal set to the order parameter is n-2. This result is new. 2. Long-time behavior of the nodal sets to the Schrodinger equations. For the complex-valued solutions, this subject is new. 3. on the dependence between vortices and the applied magnetic field curlA. Till now, there are no existing results on the dependence between vortices and curlA. On the topic of the dependence between vortices, there are almost none of the existing results. Therefore, it forces us to make some changes and innovation on the research technique. In the end, we will consider some applications: 1. inverse problem. 2.elliptic homogenized problem.

本项目将着眼于定量估计三维空间中含有磁薛定谔算子的非线性(含时间)方程组解的零点集，重点包括定量的boubling条件估计和Carleman估计、定量分析零点集与外磁场的依赖关系、零点集的大时间性态等。从数学角度看，零点集尚有许多基本且亟待解决的问题。从物理角度看，零点集对应着超导体的涡旋集，零点集的研究对理解磁通涡旋的某些物理现象有一定的理论意义。项目分为:1、Quasi-comfromal条件下的零点集的几何结构。我们将寻求比quasi-conformal条件相对弱的条件，证明零点集是n-2维这一全新的结果。研究角度新颖，有鲜明特色。2、带时间的磁薛定谔方程零点集的大时间性态研究。对于带有磁薛定谔算子的复方程，这是一个全新的课题。3、涡旋集随外加磁场变化规律的定量研究。目前该研究仍是空白。以上几个课题都需要我们在研究方法与技巧上有创新与突破。4、零点集理论在反问题和均匀化方程中的应用。

本项目的研究内容主要集中在以下两个方面：（1）零点集的定量研究；（2）一些流体力学方程组的解的存在性和正则性研究. 在研究（1）中，本项目得到了如下研究结果：（1-a）n维空间中二阶椭圆型方程零点集的Betti数估计；（1-b）三维空间中带时间的Ginzburg-Landau方程解的零点集的Hausdorff测度估计；（1-c）一维空间中抛物型耦合方程组的零点集的大时间性态；（1-d）三维空间中Ginzburg-Landau方程零点集的Hausdorff维数的改进性结论. 在研究（2）中，本项目得到了以下研究结果：（2-a）Keller-Segel-Euler方程组的解的正则性估计；（2-b）2维空间中有界区域上的磁Benard问题的解的存在性. 以上的研究结果的科学意义主要体现在以下几个方面，首先，零点集对应着超导物理中的超导材料的涡旋集，即超导体失去超导性的部分，以上研究（1）所得到的研究结果可以从数学的角度解释和说明了涡旋集的几何结构、集合的空间维数、集合的大小、随时间的变化情况等等，在超导材料的实际应用和数学理论研究上具有一定的科学价值；其次，流体力学中的数学模型，例如著名N-S模型等，具有重要现实意义、应用价值和研究价值，本项目在研究（2）中聚焦了Keller-Segel-Euler方程组和磁Benard方程组，上述两个问题与流体力学中的一些重要模型，例如Euler方程、趋化模型、MHD方程、Boussinesq方程，有着密切的联系. 通过得到对方程解的存在性和正则性的估计，从数学的角度描述了流体的运动情况.